题目
设 Omega 为单位球:x^2 + y^2 + z^2 leq 1，则 iiint_(Omega) sqrt(x^2 + y^2 + z^2) , dx , dy , dz = ( )A. iiint_(Omega) , dx , dy , dzB. int_(0)^2pi dtheta int_(0)^pi dphi int_(0)^1 r^3 sin phi , drC. int_(0)^2pi dtheta int_(0)^pi dphi int_(0)^1 r^3 sin theta , drD. int_(0)^2pi dtheta int_(0)^2pi dphi int_(0)^1 r^3 sin phi , dr
设 $\Omega$ 为单位球:$x^2 + y^2 + z^2 \leq 1$，则 $\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \, dx \, dy \, dz = (\quad)$
A. $\iiint_{\Omega} \, dx \, dy \, dz$
B. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} d\phi \int_{0}^{1} r^3 \sin \phi \, dr$
C. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} d\phi \int_{0}^{1} r^3 \sin \theta \, dr$
D. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2\pi} d\phi \int_{0}^{1} r^3 \sin \phi \, dr$
题目解答
答案
B. $\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} d\phi \int_{0}^{1} r^3 \sin \phi \, dr$
解析
步骤 1：转换到球坐标系
在球坐标系中，变量转换为 $x = r \sin \varphi \cos \theta$，$y = r \sin \varphi \sin \theta$，$z = r \cos \varphi$，体积元素变为 $dV = r^2 \sin \varphi \, dr \, d\theta \, d\varphi$。被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$，积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \varphi \leq \pi$。
步骤 2：写出转换后的积分式
转换后积分式为： \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} d\varphi \int_{0}^{1} r^3 \sin \varphi \, dr \]
步骤 3：确定正确选项
与选项 B 对应。
在球坐标系中，变量转换为 $x = r \sin \varphi \cos \theta$，$y = r \sin \varphi \sin \theta$，$z = r \cos \varphi$，体积元素变为 $dV = r^2 \sin \varphi \, dr \, d\theta \, d\varphi$。被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = r$，积分区域为 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq \varphi \leq \pi$。
步骤 2：写出转换后的积分式
转换后积分式为： \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\pi} d\varphi \int_{0}^{1} r^3 \sin \varphi \, dr \]
步骤 3：确定正确选项
与选项 B 对应。