题目
(4) int dfrac (dx)(sqrt [3]{2-3x)}
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分形式
原积分形式为 $\int \dfrac {dx}{\sqrt [3]{2-3x}}$，可以写成 $\int (2-3x)^{-\frac{1}{3}} dx$。
步骤 2：使用换元法
设 $u = 2-3x$，则 $du = -3dx$，即 $dx = -\frac{1}{3}du$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $u$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到 $\int (2-3x)^{-\frac{1}{3}} dx = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{3}} du$。
步骤 4：计算积分
计算积分 $-\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{3}} du$，得到 $-\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$。
步骤 5：代回原变量
将 $u = 2-3x$ 代回，得到 $-\frac{1}{2} (2-3x)^{\frac{2}{3}} + C$。
原积分形式为 $\int \dfrac {dx}{\sqrt [3]{2-3x}}$，可以写成 $\int (2-3x)^{-\frac{1}{3}} dx$。
步骤 2：使用换元法
设 $u = 2-3x$，则 $du = -3dx$，即 $dx = -\frac{1}{3}du$。
步骤 3：代入并计算积分
将 $u$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到 $\int (2-3x)^{-\frac{1}{3}} dx = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{3}} du$。
步骤 4：计算积分
计算积分 $-\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{3}} du$，得到 $-\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$。
步骤 5：代回原变量
将 $u = 2-3x$ 代回，得到 $-\frac{1}{2} (2-3x)^{\frac{2}{3}} + C$。