题目

(5)设四阶矩阵 =((a)_(n)) 不可逆,a12的代数余子式 _(12)neq 0, α1,α2,α3,α4为矩阵A的列向量组, A`-|||-为A的伴随矩阵,则方程组 'x=0 的通解为-|||-(A) =(k)_(1)(a)_(1)+(k)_(2)(a)_(2)+(k)_(3)(a)_(3) 其中k1,k2,k3为任意常数.-|||-(B) =(k)_(1)(a)_(1)+(k)_(2)(a)_(2)+(k)_(3)(a)_(4), 其中k1,k2,k3为任意常数.-|||-(C) =(k)_(1)(a)_(1)+(k)_(2)(a)_(3)+(k)_(3)(a)_(4), 其中k1,k2,k3为任意常数.-|||-(D) =(k)_(1)(a)_(2)+(k)_(2)(a)_(3)+(k)_(3)(a)_(4), 其中k1,k2,k3为任意常数.A、AB、BC、CD、D


  • A、A
  • B、B
  • C、C
  • D、D

题目解答

答案

C

解析

考查要点：本题主要考查矩阵的伴随矩阵性质、齐次方程组解的结构，以及代数余子式与矩阵秩的关系。

解题核心思路：

  1. 矩阵秩的确定：由代数余子式$A_{12} \neq 0$可知，矩阵$A$的秩为$3$。
  2. 伴随矩阵的秩：四阶矩阵$A$不可逆，故$|A|=0$，伴随矩阵$A^*$的秩为$1$。
  3. 解空间的维数：方程组$A^{*T}\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解空间维数为$4 - \text{秩}(A^{*T}) = 3$。
  4. 解向量的构造：解空间由$A$的列向量中极大线性无关组的线性组合构成，结合代数余子式非零的位置，确定具体基向量。

破题关键点：

  • 代数余子式非零：$A_{12} \neq 0$说明$A$的列向量$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$线性无关。
  • 解空间的基：方程组的通解由$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$的线性组合构成。

矩阵秩的分析

  1. 代数余子式非零：$A_{12} \neq 0$，说明矩阵$A$中去掉第1行第2列后的$3 \times 3$子矩阵行列式非零，因此$A$的秩为$3$。

伴随矩阵的性质

  1. 伴随矩阵秩：四阶矩阵$A$不可逆，故$|A|=0$，伴随矩阵$A^*$的秩为$1$。
  2. 方程组解空间：$A^{*T}\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解空间维数为$4 - 1 = 3$。

解向量的构造

  1. 列向量线性无关性：$A_{12} \neq 0$表明$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$线性无关，$\alpha_2$可被它们线性表示。
  2. 通解形式：解空间由$\alpha_1, \alpha_3, \alpha_4$的线性组合生成，即通解为$\mathbf{x} = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_3 + k_3\alpha_4$。