题目

15. (2024数三)已知f(x)=}2acos x+b,x<02,x=0asqrt(x+1)-b,x>0在x=0处连续，求a,b的值.

15. (2024数三)已知$f(x)=\begin{cases}2a\cos x+b,x<0\\2,x=0\\a\sqrt{x+1}-b,x>0\end{cases}$在x=0处连续，求a,b的值.

题目解答

答案

为了确定 $a$ 和 $b$ 的值，使得函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，我们需要确保 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的左极限、右极限和函数值相等。函数 $f(x)$ 定义为： \[ f(x) = \begin{cases} 2a\cos x + b, & x < 0 \\ 2, & x = 0 \\ a\sqrt{x+1} - b, & x > 0 \end{cases} \] ### 步骤1：计算左极限 当 $x$ 从左边趋近于0时，$f(x) = 2a\cos x + b$。因此，左极限为： \[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2a\cos x + b) = 2a\cos 0 + b = 2a + b \] ### 步骤2：计算右极限 当 $x$ 从右边趋近于0时，$f(x) = a\sqrt{x+1} - b$。因此，右极限为： \[ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a\sqrt{x+1} - b) = a\sqrt{0+1} - b = a - b \] ### 步骤3：函数值 在 $x=0$ 处，函数值为： \[ f(0) = 2 \] ### 步骤4：确保连续性 为了使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，左极限、右极限和函数值必须相等。因此，我们有以下方程组： \[ 2a + b = 2 \] \[ a - b = 2 \] ### 步骤5：解方程组 我们可以通过解这个方程组来找到 $a$ 和 $b$ 的值。首先，将两个方程相加： \[ (2a + b) + (a - b) = 2 + 2 \] \[ 3a = 4 \] \[ a = \frac{4}{3} \] 接下来，将 $a = \frac{4}{3}$ 代入第一个方程： \[ 2 \left( \frac{4}{3} \right) + b = 2 \] \[ \frac{8}{3} + b = 2 \] \[ b = 2 - \frac{8}{3} \] \[ b = \frac{6}{3} - \frac{8}{3} \] \[ b = -\frac{2}{3} \] ### 最终答案 Thus, the values of $a$ and $b$ are: \[ \boxed{a = \frac{4}{3}, b = -\frac{2}{3}} \]

解析

考查要点：本题主要考查函数在某点连续的条件，即左极限、右极限与函数值相等。需要根据分段函数的表达式分别计算左右极限，并建立方程求解参数。

解题思路：

  1. 明确连续条件：函数在$x=0$处连续需满足$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$。
  2. 计算左右极限：分别代入$x=0$左右两侧的表达式，得到关于$a$和$b$的方程。
  3. 解方程组：联立左右极限与函数值相等的方程，求出$a$和$b$的值。

步骤1：计算左极限

当$x \to 0^-$时，$f(x) = 2a\cos x + b$，代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 2a \cdot \cos 0 + b = 2a + b$

步骤2：计算右极限

当$x \to 0^+$时，$f(x) = a\sqrt{x+1} - b$，代入$x=0$得：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = a \cdot \sqrt{0+1} - b = a - b$

步骤3：函数值

根据题意，$f(0) = 2$。

步骤4：建立方程

根据连续性条件，左极限、右极限均等于函数值：
$\begin{cases}2a + b = 2 \\a - b = 2\end{cases}$

步骤5：解方程组

  1. 相加两式：
    $(2a + b) + (a - b) = 2 + 2 \implies 3a = 4 \implies a = \dfrac{4}{3}$
  2. 代入求$b$：
    将$a = \dfrac{4}{3}$代入$a - b = 2$：
    $\dfrac{4}{3} - b = 2 \implies b = \dfrac{4}{3} - 2 = -\dfrac{2}{3}$