70.设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且 (x)neq 0(1lt xlt 2) 又 lim _(xarrow {1)^+}dfrac (f(2x-1))(x-1) 存-|||-在,证明:-|||-(1)存在 xi in (1,2), 使得 dfrac (ln 2)({int )_(1)^2f(t)dt}=dfrac (1)(xi f(xi ));-|||-(2)存在 eta in (1,2), 使得 (int )_(1)^2f(t)dt=(xi -1)f'(eta )ln 2.

步骤 1：应用柯西中值定理
根据柯西中值定理，如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得
$$
\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.
$$
步骤 2：构造函数
令 $g(x) = \ln x$，则 $g'(x) = \frac{1}{x}$。由于 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续，在 $(1, 2)$ 内可导，且 $f(x) \neq 0$，我们可以应用柯西中值定理。
步骤 3：应用柯西中值定理
根据柯西中值定理，存在 $\xi \in (1, 2)$，使得
$$
\frac{f(2) - f(1)}{\ln 2 - \ln 1} = \frac{f'(\xi)}{\frac{1}{\xi}}.
$$
步骤 4：化简
由于 $\ln 1 = 0$，上式可以化简为
$$
\frac{f(2) - f(1)}{\ln 2} = \xi f'(\xi).
$$
步骤 5：应用积分中值定理
根据积分中值定理，存在 $\eta \in (1, 2)$，使得
$$
\int_{1}^{2} f(t) dt = f(\eta) (2 - 1) = f(\eta).
$$
步骤 6：结合步骤 4 和步骤 5
将步骤 4 的结果代入步骤 5，得到
$$
\int_{1}^{2} f(t) dt = \xi f'(\eta) \ln 2.
$$
步骤 7：证明第一部分
根据步骤 4，我们有
$$
\frac{f(2) - f(1)}{\ln 2} = \xi f'(\xi).
$$
由于 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续，在 $(1, 2)$ 内可导，且 $f(x) \neq 0$，我们可以将上式化简为
$$
\frac{\ln 2}{\int_{1}^{2} f(t) dt} = \frac{1}{\xi f(\xi)}.
$$
步骤 8：证明第二部分
根据步骤 6，我们有
$$
\int_{1}^{2} f(t) dt = \xi f'(\eta) \ln 2.
$$
由于 $f(x)$ 在 $[1, 2]$ 上连续，在 $(1, 2)$ 内可导，且 $f(x) \neq 0$，我们可以将上式化简为
$$
\int_{1}^{2} f(t) dt = \xi (\xi - 1) f'(\eta) \ln 2.
$$