70.设f(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且 (x)neq 0(1lt xlt 2) 又 lim _(xarrow {1)^+}dfrac (f(2x-1))(x-1) 存-|||-在,证明:-|||-(1)存在 xi in (1,2), 使得 dfrac (ln 2)({int )_(1)^2f(t)dt}=dfrac (1)(xi f(xi ));-|||-(2)存在 eta in (1,2), 使得 (int )_(1)^2f(t)dt=(xi -1)f'(eta )ln 2.

本题主要考查了函数极限、积分中值定理、柯西中值定理以及拉格朗日中值定理的综合运用。解题的关键在于根据已知条件合理构造函数，并运用相应的定理来证明结论。

（1）证明存在 $\xi \in (1,2)$ ，使得 $\dfrac {\ln 2}{{\int }_{1}^{2}f(t)dt}=\dfrac {1}{\xi f(\xi )}$

• 步骤一：根据极限存在确定 $f(1)$ 的值
  已知 $\lim _{x\rightarrow {1}^{+}}\dfrac {f(2x - 1)}{x - 1}$ 存在，当 $x\rightarrow 1^{+}$ 时，$2x - 1\rightarrow 1^{+}$。因为分母 $x - 1\rightarrow 0^{+}$，要使该极限存在，则分子 $f(2x - 1)\rightarrow 0$，又因为 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，所以 $\lim\limits_{x\rightarrow 1^{+}}f(2x - 1)=f(1)=0$。
• 步骤二：构造函数并应用柯西中值定理
  设 $F(x)=\ln x$，$G(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$，$x\in[1,2]$。
  因为 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上连续，所以 $G(x)$ 在 $[1,2]$ 上可导且 $G^\prime(x)=f(x)$，同时 $F(x)$ 在 $[1,2]$ 上可导且 $F^\prime(x)=\frac{1}{x}$。
  根据柯西中值定理，存在 $\xi\in(1,2)$，使得 $\frac{F(2)-F(1)}{G(2)-G(1)}=\frac{F^\prime(\xi)}{G^\prime(\xi)}$。
  计算可得 $F(2)-F(1)=\ln 2 - \ln 1 = \ln 2$，$G(2)-G(1)=\int_{1}^{2}f(t)dt - \int_{1}^{1}f(t)dt = \int_{1}^{2}f(t)dt$，$F^\prime(\xi)=\frac{1}{\xi}$，$G^\prime(\xi)=f(\xi)$。
  所以 $\frac{\ln 2}{\int_{1}^{2}f(t)dt}=\frac{\frac{1}{\xi}}{f(\xi)}=\frac{1}{\xi f(\xi)}$。

（2）证明存在 $\eta \in (1,2)$ ，使得 ${\int }_{1}^{2}f(t)dt=\xi (\xi -1)f'(\eta )\ln 2$

• 步骤一：对 $f(x)$ 在 $[1,\xi]$ 上应用拉格朗日中值定理
  因为 $f(x)$ 在 $[1,\xi]$ 上连续，在 $(1,\xi)$ 内可导，根据拉格朗日中值定理，存在 $\eta\in(1,\xi)\subseteq(1,2)$，使得 $f(\xi)-f(1)=f^\prime(\eta)(\xi - 1)$。
  又因为 $f(1)=0$，所以 $f(\xi)=f^\prime(\eta)(\xi - 1)$。
• 步骤二：结合（1）的结论进行推导
  由（1）可知 $\frac{\ln 2}{\int_{1}^{2}f(t)dt}=\frac{1}{\xi f(\xi)}$，将 $f(\xi)=f^\prime(\eta)(\xi - 1)$ 代入可得：
  $\int_{1}^{2}f(t)dt=\xi f(\xi)\ln 2=\xi\cdot f^\prime(\eta)(\xi - 1)\ln 2$。