题目
甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 ____ ．
甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为 ____ ．
题目解答
答案
解：甲出1一定输，所以甲最多得3分，
若得3分，就只有一种组合1-8、3-2、5-4、7-6；
若得2分有三类，分别列举如下：
①出3和出5的赢，其余输：1-6，3-2，5-4，7-8；
②出3和出7的赢，其余输：1-4，3-2，5-8，7-6；1-8，3-2，5-6，7-4；1-6，3-2，5-8，7-4；
③出5和出7的赢，其余输：1-2，3-8，5-4，7-6；1-4，3-8，5-2，7-6；1-8，3-4，5-2，7-6；1-6，3-8，5-2，7-4；1-8，3-6，5-2，7-4；1-6，3-8，5-4，7-2；1-8，3-6，5-4，7-2；
共12种组合满足要求，而所有组合为${A}_{4}^{4}=24$种，
所以甲得分不小于2的概率为$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．
若得3分，就只有一种组合1-8、3-2、5-4、7-6；
若得2分有三类，分别列举如下：
①出3和出5的赢，其余输：1-6，3-2，5-4，7-8；
②出3和出7的赢，其余输：1-4，3-2，5-8，7-6；1-8，3-2，5-6，7-4；1-6，3-2，5-8，7-4；
③出5和出7的赢，其余输：1-2，3-8，5-4，7-6；1-4，3-8，5-2，7-6；1-8，3-4，5-2，7-6；1-6，3-8，5-2，7-4；1-8，3-6，5-2，7-4；1-6，3-8，5-4，7-2；1-8，3-6，5-4，7-2；
共12种组合满足要求，而所有组合为${A}_{4}^{4}=24$种，
所以甲得分不小于2的概率为$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．
解析
步骤 1：确定甲的得分情况
甲的卡片数字为1，3，5，7，乙的卡片数字为2，4，6，8。甲的得分情况取决于甲和乙在每轮比赛中所选卡片的数字大小。甲的得分可以是0，1，2，3，4分。
步骤 2：计算甲得分不小于2的情况
甲得分不小于2的情况包括甲得2分和甲得3分的情况。甲得3分的情况只有一种，即甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，2，4，6比较，甲的卡片数字都大于乙的卡片数字。甲得2分的情况有多种，需要列举出来。
步骤 3：列举甲得2分的情况
甲得2分的情况有以下几种：
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，2，4，8比较，甲的卡片数字3，5大于乙的卡片数字2，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字4，2，6，8比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字2，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，4，2，8比较，甲的卡片数字3，5大于乙的卡片数字4，2。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字4，6，2，8比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字4，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，2，4，6比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字4，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，4，2，6比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字4，2。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，4，8，2比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字4，2。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字4，6，8，2比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字4，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，6，2，4比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，8，2，4比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，6，4，2比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，8，4，2比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
步骤 4：计算甲得分不小于2的概率
甲得分不小于2的情况有12种，而所有可能的情况有${A}_{4}^{4}=24$种，因此甲得分不小于2的概率为$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。
甲的卡片数字为1，3，5，7，乙的卡片数字为2，4，6，8。甲的得分情况取决于甲和乙在每轮比赛中所选卡片的数字大小。甲的得分可以是0，1，2，3，4分。
步骤 2：计算甲得分不小于2的情况
甲得分不小于2的情况包括甲得2分和甲得3分的情况。甲得3分的情况只有一种，即甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，2，4，6比较，甲的卡片数字都大于乙的卡片数字。甲得2分的情况有多种，需要列举出来。
步骤 3：列举甲得2分的情况
甲得2分的情况有以下几种：
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，2，4，8比较，甲的卡片数字3，5大于乙的卡片数字2，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字4，2，6，8比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字2，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，4，2，8比较，甲的卡片数字3，5大于乙的卡片数字4，2。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字4，6，2，8比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字4，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，2，4，6比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字4，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，4，2，6比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字4，2。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，4，8，2比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字4，2。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字4，6，8，2比较，甲的卡片数字3，7大于乙的卡片数字4，6。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，6，2，4比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，8，2，4比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字8，6，4，2比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
- 甲的卡片数字1，3，5，7分别与乙的卡片数字6，8，4，2比较，甲的卡片数字5，7大于乙的卡片数字6，4。
步骤 4：计算甲得分不小于2的概率
甲得分不小于2的情况有12种，而所有可能的情况有${A}_{4}^{4}=24$种，因此甲得分不小于2的概率为$\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。