题目
光滑水平面上平放着 ，半径 R 的固定环，环内的一物体以速率 Vo 开始沿环内侧逆时针方向运动 ，物体与环内侧的摩擦系数为μ，求： ( 1 ) 物体任一时刻 t 的速率 V ; ( 2 ) 物体从开始运动经 t 秒经历的路程 S
光滑水平面上平放着 ，半径 R 的固定环，环内的一物体以速率 Vo 开始沿环内侧逆时针方向运动 ，物体与环内侧的摩擦系数为μ，求： ( 1 ) 物体任一时刻 t 的速率 V ; ( 2 ) 物体从开始运动经 t 秒经历的路程 S
题目解答
答案
（1）当物体以V在环内运动时，弹力提供向心力
摩擦力
①
切向加速度
②
联立①②可知：
则：
即：
可算出
(2)由（1）可知：
两边积分：
解析
步骤 1：确定物体的运动方程
物体在环内运动时，受到的摩擦力提供切向加速度，而弹力提供向心力。摩擦力的大小为$f=\mu F=\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}$，其中$v$是物体的速率，$R$是环的半径。切向加速度$a=-\dfrac {dv}{dt}$，其中负号表示加速度的方向与速度方向相反。因此，摩擦力和切向加速度之间的关系为$f=ma$，即$\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}=-m\dfrac {dv}{dt}$。由于质量$m$可以约去，我们得到$\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}=-\dfrac {dv}{dt}$。
步骤 2：求解速率随时间的变化
将$\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}=-\dfrac {dv}{dt}$改写为$-\dfrac {dv}{\mu {v}^{2}}=\dfrac {dt}{R}$，然后对两边进行积分。左边积分从$v_0$到$v$，右边积分从0到$t$。即${\int }_{{v}_{0}}^{v}-\dfrac {dv}{\mu {v}^{2}}={\int }_{0}^{t}\dfrac {dt}{R}$。计算积分得到$\dfrac {1}{V}-\dfrac {1}{{V}_{0}}=\mu \dfrac {t}{R}$，从而得到物体任一时刻$t$的速率$V=\dfrac {R{V}_{0}}{R+\mu {V}_{0}t}$。
步骤 3：求解物体的路程
由步骤2得到的速率表达式$\dfrac {1}{V}=\dfrac {1}{{V}_{0}}+\dfrac {\mu }{R}t$，可以得到$ds=Vdt$。将速率$V$的表达式代入，得到$ds=\dfrac {R}{\mu }\dfrac {dt}{\dfrac {\mu {v}_{0}}{R}t+1}$。对两边积分，从0到$t$，得到$S=\dfrac {R}{\mu }\ln (\dfrac {\mu {v}_{0}}{R}t+1)$。
物体在环内运动时，受到的摩擦力提供切向加速度，而弹力提供向心力。摩擦力的大小为$f=\mu F=\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}$，其中$v$是物体的速率，$R$是环的半径。切向加速度$a=-\dfrac {dv}{dt}$，其中负号表示加速度的方向与速度方向相反。因此，摩擦力和切向加速度之间的关系为$f=ma$，即$\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}=-m\dfrac {dv}{dt}$。由于质量$m$可以约去，我们得到$\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}=-\dfrac {dv}{dt}$。
步骤 2：求解速率随时间的变化
将$\mu \dfrac {{v}^{2}}{R}=-\dfrac {dv}{dt}$改写为$-\dfrac {dv}{\mu {v}^{2}}=\dfrac {dt}{R}$，然后对两边进行积分。左边积分从$v_0$到$v$，右边积分从0到$t$。即${\int }_{{v}_{0}}^{v}-\dfrac {dv}{\mu {v}^{2}}={\int }_{0}^{t}\dfrac {dt}{R}$。计算积分得到$\dfrac {1}{V}-\dfrac {1}{{V}_{0}}=\mu \dfrac {t}{R}$，从而得到物体任一时刻$t$的速率$V=\dfrac {R{V}_{0}}{R+\mu {V}_{0}t}$。
步骤 3：求解物体的路程
由步骤2得到的速率表达式$\dfrac {1}{V}=\dfrac {1}{{V}_{0}}+\dfrac {\mu }{R}t$，可以得到$ds=Vdt$。将速率$V$的表达式代入，得到$ds=\dfrac {R}{\mu }\dfrac {dt}{\dfrac {\mu {v}_{0}}{R}t+1}$。对两边积分，从0到$t$，得到$S=\dfrac {R}{\mu }\ln (\dfrac {\mu {v}_{0}}{R}t+1)$。