题目
设曲线 :y=(x)^2(x 从1到 -1), 则|xds和 int ydx+xdy 依次等于 () .-|||-(A)0,0 (B)0,2 C)0, -2 (D) -2,0
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\int_{l} xds$
曲线 $l$ 的方程为 $y = x^2$，从 $x = 1$ 到 $x = -1$。首先，我们需要计算 $ds$，即曲线的微分弧长。$ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx$，其中 $y' = \frac{dy}{dx} = 2x$。因此，$ds = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx$。所以，$\int_{l} xds = \int_{1}^{-1} x \sqrt{1 + 4x^2} dx$。由于被积函数 $x \sqrt{1 + 4x^2}$ 是奇函数，积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，所以 $\int_{1}^{-1} x \sqrt{1 + 4x^2} dx = 0$。
步骤 2：计算 $\int_{l} ydx + xdy$
根据曲线 $l$ 的方程 $y = x^2$，我们有 $dy = 2x dx$。因此，$\int_{l} ydx + xdy = \int_{1}^{-1} x^2 dx + \int_{1}^{-1} x \cdot 2x dx = \int_{1}^{-1} x^2 dx + 2\int_{1}^{-1} x^2 dx = 3\int_{1}^{-1} x^2 dx$。由于 $x^2$ 是偶函数，积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，所以 $\int_{1}^{-1} x^2 dx = 2\int_{0}^{1} x^2 dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1}{3} - 0\right) = \frac{2}{3}$。因此，$\int_{l} ydx + xdy = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$。
曲线 $l$ 的方程为 $y = x^2$，从 $x = 1$ 到 $x = -1$。首先，我们需要计算 $ds$，即曲线的微分弧长。$ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx$，其中 $y' = \frac{dy}{dx} = 2x$。因此，$ds = \sqrt{1 + (2x)^2} dx = \sqrt{1 + 4x^2} dx$。所以，$\int_{l} xds = \int_{1}^{-1} x \sqrt{1 + 4x^2} dx$。由于被积函数 $x \sqrt{1 + 4x^2}$ 是奇函数，积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，所以 $\int_{1}^{-1} x \sqrt{1 + 4x^2} dx = 0$。
步骤 2：计算 $\int_{l} ydx + xdy$
根据曲线 $l$ 的方程 $y = x^2$，我们有 $dy = 2x dx$。因此，$\int_{l} ydx + xdy = \int_{1}^{-1} x^2 dx + \int_{1}^{-1} x \cdot 2x dx = \int_{1}^{-1} x^2 dx + 2\int_{1}^{-1} x^2 dx = 3\int_{1}^{-1} x^2 dx$。由于 $x^2$ 是偶函数，积分区间 $[-1, 1]$ 关于原点对称，所以 $\int_{1}^{-1} x^2 dx = 2\int_{0}^{1} x^2 dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = 2\left(\frac{1}{3} - 0\right) = \frac{2}{3}$。因此，$\int_{l} ydx + xdy = 3 \cdot \frac{2}{3} = 2$。