题目
1.主观题(10分)(10分)求信号x(t)=e^-tu(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。要求:认真书写计算步骤,拍照上传本题答案,保证图片清晰。
1.主观题(10分)
(10分)求信号$x(t)=e^{-t}u(t)$的拉普拉斯变换及其收敛域。要求:认真书写计算步骤,拍照上传本题答案,保证图片清晰。
题目解答
答案
为了求信号 $ x(t) = e^{-t} u(t) $ 的拉普拉斯变换及其收敛域，我们按照以下步骤进行：
1. **拉普拉斯变换的定义**：
拉普拉斯变换 $ X(s) $ 的定义为：
\[
X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \, dt
\]
其中 $ s = \sigma + j\omega $ 是复频率， $ \sigma $ 是实部， $ \omega $ 是虚部。
2. **代入信号 $ x(t) $**：
由于 $ x(t) = e^{-t} u(t) $，其中 $ u(t) $ 是单位阶跃函数， $ u(t) = 1 $ 当 $ t \geq 0 $ 时， $ u(t) = 0 $ 当 $ t < 0 $ 时。因此，积分范围从 $ 0 $ 到 $ \infty $：
\[
X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-st} \, dt
\]
3. **合并指数项**：
将指数项合并为一个指数项：
\[
X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t} \, dt
\]
4. **计算积分**：
这是一个标准的积分形式 $ \int_{0}^{\infty} e^{-at} \, dt $，其中 $ a = s+1 $。该积分的值为：
\[
\int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t} \, dt = \left[ \frac{e^{-(s+1)t}}{-(s+1)} \right]_{0}^{\infty}
\]
5. **求解积分的上下限**：
- 当 $ t \to \infty $ 时， $ e^{-(s+1)t} \to 0 $，如果 $ \text{Re}(s+1) > 0 $，即 $ \sigma + 1 > 0 $ 或 $ \sigma > -1 $。
- 当 $ t = 0 $ 时， $ e^{-(s+1) \cdot 0} = 1 $。
因此，积分结果为：
\[
\left[ \frac{e^{-(s+1)t}}{-(s+1)} \right]_{0}^{\infty} = \frac{0 - 1}{-(s+1)} = \frac{1}{s+1}
\]
6. **确定收敛域**：
积分收敛的条件是 $ \sigma > -1 $。因此，收敛域为 $ \text{Re}(s) > -1 $。
7. **最终答案**：
信号 $ x(t) = e^{-t} u(t) $ 的拉普拉斯变换为：
\[
X(s) = \frac{1}{s+1}
\]
收敛域为：
\[
\text{Re}(s) > -1
\]
综上所述，最终答案为：
\[
\boxed{\frac{1}{s+1}, \quad \text{Re}(s) > -1}
\]
解析
考查要点：本题主要考查拉普拉斯变换的定义、积分计算以及收敛域的确定方法。
解题思路：
- 利用拉普拉斯变换的定义式，将信号代入积分表达式。
- 结合单位阶跃函数 $u(t)$ 的特性，确定积分上下限。
- 合并指数项后，通过标准积分公式计算结果。
- 分析积分收敛条件，确定收敛域。
关键点：
- 单位阶跃函数的作用是使积分下限变为 $0$。
- 收敛域由积分收敛的条件决定，需保证指数项的实部满足要求。
步骤1：写出拉普拉斯变换定义
根据定义，拉普拉斯变换为：
$X(s) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \, dt$
步骤2：代入信号表达式
由于 $x(t) = e^{-t} u(t)$，且 $u(t)$ 在 $t < 0$ 时为 $0$，积分范围简化为：
$X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-t} e^{-st} \, dt$
步骤3：合并指数项
将指数项合并为：
$X(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-(s+1)t} \, dt$
步骤4：计算积分
利用积分公式 $\int_{0}^{\infty} e^{-at} \, dt = \frac{1}{a}$（当 $\text{Re}(a) > 0$ 时），得：
$X(s) = \frac{1}{s+1}$
步骤5：确定收敛域
积分收敛要求 $\text{Re}(s+1) > 0$，即 $\text{Re}(s) > -1$。