设 f(x,y)=} (xy)/(x-y), & x neq y 0, & x = y ，则 f(x,y) 在 (0,0) 点(）.A. 极限存在且为 1B. 极限存在且为 -1C. 连续D. 极限不存在

本题考查二元函数在某点的极限存在性以及连续性的判断。解题的关键思路是通过选取不同的路径趋近于点$(0,0)$，若沿不同路径得到的极限值不同，则函数在该点的极限不存在；若极限不存在，那么函数在该点必然不连续。

下面我们通过选取不同路径来计算函数$f(x,y)$在$(0,0)$点的极限：

• 路径一：沿$y = kx$（$k\neq1$）趋近于$(0,0)$
  将$y = kx$代入函数$f(x,y)$中，此时$x\neq y$（因为$k\neq1$），则$f(x,kx)=\frac{x\cdot kx}{x - kx}$。
  对$\frac{x\cdot kx}{x - kx}$进行化简：
  $\begin{align*}\frac{x\cdot kx}{x - kx}&=\frac{kx^2}{x(1 - k)}\\&=\frac{kx}{1 - k}\end{align*}$
  然后求$\lim\limits_{x\to0}f(x,kx)$，即$\lim\limits_{x\to0}\frac{kx}{1 - k}$，根据极限运算法则，当$x\to0$时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{kx}{1 - k}=\frac{k\times0}{1 - k}=0$。
• 路径二：沿$y = x^2 - x$趋近于$(0,0)$
  当$y = x^2 - x$时，$x\neq y$（因为$x^2 - x\neq x$，即$x^2 - 2x\neq0$，$x(x - 2)\neq0$，在趋近于$(0,0)$的过程中满足条件），将$y = x^2 - x$代入函数$f(x,y)$中，可得$f(x,x^2 - x)=\frac{x(x^2 - x)}{x - (x^2 - x)}$。
  对$\frac{x(x^2 - x)}{x - (x^2 - x)}$进行化简：
  $\begin{align*}\frac{x(x^2 - x)}{x - (x^2 - x)}&=\frac{x^3 - x^2}{2x - x^2}\\&=\frac{x^2(x - 1)}{x(2 - x)}\\&=\frac{x(x - 1)}{2 - x}\end{align*}$
  接着求$\lim\limits_{x\to0}f(x,x^2 - x)$，即$\lim\limits_{x\to0}\frac{x(x - 1)}{2 - x}$，根据极限运算法则，当$x\to0$时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{x(x - 1)}{2 - x}=\frac{0\times(0 - 1)}{2 - 0}=0$。
• 路径三：沿$y = x - x^2$趋近于$(0,0)$
  当$y = x - x^2$时，$x\neq y$（因为$x - x^2\neq x$，即$-x^2\neq0$，在趋近于$(0,0)$的过程中满足条件），将$y = x - x^2$代入函数$f(x,y)$中，可得$f(x,x - x^2)=\frac{x(x - x^2)}{x - (x - x^2)}$。
  对$\frac{x(x - x^2)}{x - (x - x^2)}$进行化简：
  $\begin{align*}\frac{x(x - x^2)}{x - (x - x^2)}&=\frac{x^2 - x^3}{x^2}\\&=1 - x\end{align*}$
  再求$\lim\limits_{x\to0}f(x,x - x^2)$，即$\lim\limits_{x\to0}(1 - x)$，根据极限运算法则，当$x\to0$时，$\lim\limits_{x\to0}(1 - x)=1 - 0 = 1$。

由于沿不同路径趋近于$(0,0)$时，函数$f(x,y)$的极限值不同（如沿$y = x - x^2$趋近时极限为$1$，沿$y = kx$趋近时极限为$0$），所以函数$f(x,y)$在$(0,0)$点的极限不存在。
因为函数在某点连续的前提是该点极限存在，而此函数在$(0,0)$点极限不存在，所以函数在$(0,0)$点不连续。