题目
设3阶方阵A的秩r(A)=2，且underline (7) 1 1 2-|||- 2 0 = 2 0-|||-3 -1 3 __-2，则A的特征值为_________
设3阶方阵A的秩r(A)=2，且
，则A的特征值为_________
题目解答
答案
解：由题可知，令
，
则有
于是
又∵r(A)=2，∴
，
即
故矩阵A的特征值为0,1,2
解析
步骤 1：确定矩阵A的秩
已知矩阵A的秩r(A)=2，这意味着矩阵A的行列式为0，即|A|=0。因此，矩阵A至少有一个特征值为0。
步骤 2：确定矩阵A的特征向量
根据题目给出的条件，可以得到矩阵A的两个特征向量${\alpha }_{1}={(1,2,3)}^{T}$和${\alpha }_{2}={(1,0,-1)}^{T}$。根据特征向量的定义，有$A{\alpha }_{1}={\alpha }_{1}$和$A{\alpha }_{2}=2{\alpha }_{2}$。因此，矩阵A的特征值${\lambda }_{1}=1$和${\lambda }_{2}=2$。
步骤 3：确定矩阵A的第三个特征值
由于矩阵A的秩为2，因此矩阵A的行列式为0，即$|A|={\lambda }_{1}{\lambda }_{2}{\lambda }_{3}=0$。已知${\lambda }_{1}=1$和${\lambda }_{2}=2$，因此${\lambda }_{3}=0$。
已知矩阵A的秩r(A)=2，这意味着矩阵A的行列式为0，即|A|=0。因此，矩阵A至少有一个特征值为0。
步骤 2：确定矩阵A的特征向量
根据题目给出的条件，可以得到矩阵A的两个特征向量${\alpha }_{1}={(1,2,3)}^{T}$和${\alpha }_{2}={(1,0,-1)}^{T}$。根据特征向量的定义，有$A{\alpha }_{1}={\alpha }_{1}$和$A{\alpha }_{2}=2{\alpha }_{2}$。因此，矩阵A的特征值${\lambda }_{1}=1$和${\lambda }_{2}=2$。
步骤 3：确定矩阵A的第三个特征值
由于矩阵A的秩为2，因此矩阵A的行列式为0，即$|A|={\lambda }_{1}{\lambda }_{2}{\lambda }_{3}=0$。已知${\lambda }_{1}=1$和${\lambda }_{2}=2$，因此${\lambda }_{3}=0$。