题目
5.曲线 -x=(e)^x(1-y) 在 x=0 处的切线方程是 __
题目解答
答案
本题考查了求切线方程，首先将x=0代入方程求出y=1，然后求导，代入x=0，求出斜率，即可求出切线方程。
$y-x=e^{x(1-y})$
x=0时，y=1
$y-x=e^{x(1-y})$两边同时对x求导
y'$-1=e^{x(1-y})$*$(1-y)-xe^{x(1-y})$*$(1-y)-xe^{x(1-y})$*(-y')
将x=0，y=1代入上式得
y'$-1=e^{0}$*(1-1)-0
y'=1
所以，切线方程为y-1=1*(x-0)，即y=x+1
$y-x=e^{x(1-y})$
x=0时，y=1
$y-x=e^{x(1-y})$两边同时对x求导
y'$-1=e^{x(1-y})$*$(1-y)-xe^{x(1-y})$*$(1-y)-xe^{x(1-y})$*(-y')
将x=0，y=1代入上式得
y'$-1=e^{0}$*(1-1)-0
y'=1
所以，切线方程为y-1=1*(x-0)，即y=x+1
解析
步骤 1：求出曲线在 x=0 处的 y 值
将 x=0 代入曲线方程 $y-x=e^{x(1-y)}$，得到 $y-0=e^{0(1-y)}$，即 $y=e^{0}=1$。因此，曲线在 x=0 处的点为 (0, 1)。
步骤 2：求导数
对曲线方程 $y-x=e^{x(1-y)}$ 两边同时对 x 求导，得到 $y'-1=e^{x(1-y)}(1-y)-xe^{x(1-y)}(-y')$。
步骤 3：求出切线斜率
将 x=0 和 y=1 代入导数方程，得到 $y'-1=e^{0(1-1)}(1-1)-0e^{0(1-1)}(-y')$，即 $y'-1=0$，因此 $y'=1$。所以，切线斜率为 1。
步骤 4：求出切线方程
根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)=(0,1)$，斜率 $m=1$，代入得到 $y-1=1(x-0)$，即 $y=x+1$。
将 x=0 代入曲线方程 $y-x=e^{x(1-y)}$，得到 $y-0=e^{0(1-y)}$，即 $y=e^{0}=1$。因此，曲线在 x=0 处的点为 (0, 1)。
步骤 2：求导数
对曲线方程 $y-x=e^{x(1-y)}$ 两边同时对 x 求导，得到 $y'-1=e^{x(1-y)}(1-y)-xe^{x(1-y)}(-y')$。
步骤 3：求出切线斜率
将 x=0 和 y=1 代入导数方程，得到 $y'-1=e^{0(1-1)}(1-1)-0e^{0(1-1)}(-y')$，即 $y'-1=0$，因此 $y'=1$。所以，切线斜率为 1。
步骤 4：求出切线方程
根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)=(0,1)$，斜率 $m=1$，代入得到 $y-1=1(x-0)$，即 $y=x+1$。