题目
(1)设随机变量X的概率密度为 (x),-infty lt xlt infty , 求 =(x)^3 的概-|||-率密度.-|||-(2)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= ) (e)^-x,xgt 0 0,xgt 的概率密度.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定变换函数
$Y={X}^{3}$ ,即有 $y=g(x)={x}^{3}$ ,它严格单调增加,解得 $x=h(y)={y}^{1/3}$ .
步骤 2：计算反函数的导数
且有 $h'(y)=\dfrac {1}{3}{y}^{-2/3}$ .
步骤 3：应用概率密度变换公式
由教材第二章(5.2)式得 $Y={X}^{3}$ 的概率密度为 .${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{3}{y}^{-2/3}f({y}^{1/3})$ , $y\neq 0$ .
【答案】
${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{3}{y}^{-2/3}f({y}^{1/3})$ , $y\neq 0$ .
(2) 设随机变量X的概率密度为 f(x)= $\left \{ \begin{matrix} {e}^{-x},x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ 求 $Y={X}^{2}$ 的概率密度.
【解析】
步骤 1：确定变换函数
$Y={X}^{2}$ ,即有 $y=g(x)={x}^{2}$ ,在 $x\gt 0$ 时,g(x)严格单调增加,具有反函数 $x=h(y)=\sqrt {y}$ .
步骤 2：计算反函数的导数
又有 $h'(y)=\dfrac {1}{2}{y}^{-1/2}$ .
步骤 3：应用概率密度变换公式
由教材第二章(5.25.2)式得 $Y={X}^{2}$ 的概率密度为 .${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2\sqrt {y}}{e}^{-\sqrt {y}},y\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ .
$Y={X}^{3}$ ,即有 $y=g(x)={x}^{3}$ ,它严格单调增加,解得 $x=h(y)={y}^{1/3}$ .
步骤 2：计算反函数的导数
且有 $h'(y)=\dfrac {1}{3}{y}^{-2/3}$ .
步骤 3：应用概率密度变换公式
由教材第二章(5.2)式得 $Y={X}^{3}$ 的概率密度为 .${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{3}{y}^{-2/3}f({y}^{1/3})$ , $y\neq 0$ .
【答案】
${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{3}{y}^{-2/3}f({y}^{1/3})$ , $y\neq 0$ .
(2) 设随机变量X的概率密度为 f(x)= $\left \{ \begin{matrix} {e}^{-x},x\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ 求 $Y={X}^{2}$ 的概率密度.
【解析】
步骤 1：确定变换函数
$Y={X}^{2}$ ,即有 $y=g(x)={x}^{2}$ ,在 $x\gt 0$ 时,g(x)严格单调增加,具有反函数 $x=h(y)=\sqrt {y}$ .
步骤 2：计算反函数的导数
又有 $h'(y)=\dfrac {1}{2}{y}^{-1/2}$ .
步骤 3：应用概率密度变换公式
由教材第二章(5.25.2)式得 $Y={X}^{2}$ 的概率密度为 .${f}_{Y}(y)=$ $\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2\sqrt {y}}{e}^{-\sqrt {y}},y\gt 0\\ 0,\end{matrix} \right.$ .