题目
9.设随机变量X与Y相互独立，且X~B(1,(1)/(2)),Y~N(0,1).则概率P(XY>0)的值为（）A. 0B. (1)/(4)C. (1)/(2)D. (3)/(4)
9.设随机变量X与Y相互独立，且X~B(1,$\frac{1}{2}$),Y~N(0,1).则概率P(XY>0)的值为（）
A. 0
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{4}$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{4}$
解析
步骤 1：理解随机变量X和Y的分布
随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(1, \frac{1}{2})$，这意味着 $X$ 只能取值 0 或 1，且取值为 1 的概率为 $\frac{1}{2}$，取值为 0 的概率也为 $\frac{1}{2}$。随机变量 $Y$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，即 $Y$ 的概率密度函数关于 $y=0$ 对称，且 $P(Y>0) = P(Y<0) = \frac{1}{2}$。
步骤 2：分析条件XY>0
要使 $XY > 0$，则 $X$ 和 $Y$ 必须同号。由于 $X$ 只能取 0 或 1，当 $X = 0$ 时，$XY = 0$，不满足 $XY > 0$。因此，$XY > 0$ 的情况只发生在 $X = 1$ 且 $Y > 0$ 的情况下。
步骤 3：计算概率P(XY>0)
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$P(XY > 0) = P(X = 1) \cdot P(Y > 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
随机变量 $X$ 服从二项分布 $B(1, \frac{1}{2})$，这意味着 $X$ 只能取值 0 或 1，且取值为 1 的概率为 $\frac{1}{2}$，取值为 0 的概率也为 $\frac{1}{2}$。随机变量 $Y$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$，即 $Y$ 的概率密度函数关于 $y=0$ 对称，且 $P(Y>0) = P(Y<0) = \frac{1}{2}$。
步骤 2：分析条件XY>0
要使 $XY > 0$，则 $X$ 和 $Y$ 必须同号。由于 $X$ 只能取 0 或 1，当 $X = 0$ 时，$XY = 0$，不满足 $XY > 0$。因此，$XY > 0$ 的情况只发生在 $X = 1$ 且 $Y > 0$ 的情况下。
步骤 3：计算概率P(XY>0)
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$P(XY > 0) = P(X = 1) \cdot P(Y > 0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。