题目
5.设y(x)是微分方程 ''+(x-1)y'+(x)^2y=(e)^x 满足初始条件 (0)=0, '(0)=1 的解,-|||-则 lim _(xarrow 0)dfrac (y(x)-x)({x)^2} () .-|||-(A)等于1 (B)等于2 (C)等于0 (D)不存在
题目解答
答案
解析
步骤 1：微分方程的初始条件
给定微分方程 $y''+(x-1)y'+{x}^{2}y={e}^{x}$，初始条件为 $y(0)=0$ 和 $y'(0)=1$。
步骤 2：求解微分方程
由于直接求解微分方程可能较为复杂，我们可以通过代入初始条件来简化问题。首先，将 $x=0$ 代入微分方程，得到 $y''(0)+(0-1)y'(0)+{0}^{2}y(0)={e}^{0}$，即 $y''(0)-y'(0)=1$。由于 $y'(0)=1$，则 $y''(0)=2$。
步骤 3：利用洛必达法则求极限
要求 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}$，由于分子和分母在 $x=0$ 时都为0，可以使用洛必达法则。首先，分子的导数为 $y'(x)-1$，分母的导数为 $2x$。再次应用洛必达法则，分子的二阶导数为 $y''(x)$，分母的二阶导数为 $2$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y''(x)}{2}=\dfrac {y''(0)}{2}=\dfrac {2}{2}=1$。
给定微分方程 $y''+(x-1)y'+{x}^{2}y={e}^{x}$，初始条件为 $y(0)=0$ 和 $y'(0)=1$。
步骤 2：求解微分方程
由于直接求解微分方程可能较为复杂，我们可以通过代入初始条件来简化问题。首先，将 $x=0$ 代入微分方程，得到 $y''(0)+(0-1)y'(0)+{0}^{2}y(0)={e}^{0}$，即 $y''(0)-y'(0)=1$。由于 $y'(0)=1$，则 $y''(0)=2$。
步骤 3：利用洛必达法则求极限
要求 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}$，由于分子和分母在 $x=0$ 时都为0，可以使用洛必达法则。首先，分子的导数为 $y'(x)-1$，分母的导数为 $2x$。再次应用洛必达法则，分子的二阶导数为 $y''(x)$，分母的二阶导数为 $2$。因此，$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(x)-x}{{x}^{2}}=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y''(x)}{2}=\dfrac {y''(0)}{2}=\dfrac {2}{2}=1$。