题目
设随机变量 X 的密度函数 p(x)= (k)/(1 + x^2) (-infty A. (1)/(pi)B. (2)/(pi)C. (1)/(sqrt(pi))D. (2)/(sqrt(pi))
设随机变量 $X$ 的密度函数 $p(x)= \frac{k}{1 + x^2} (-\infty < x < +\infty)$，则 $k$ 的值是（）
A. $\frac{1}{\pi}$
B. $\frac{2}{\pi}$
C. $\frac{1}{\sqrt{\pi}}$
D. $\frac{2}{\sqrt{\pi}}$
题目解答
答案
A. $\frac{1}{\pi}$
解析
步骤 1：确定积分范围
随机变量 $X$ 的密度函数 $p(x) = \frac{k}{1+x^2}$ 在整个实数范围内定义，因此我们需要计算从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 的积分。
步骤 2：计算积分
根据概率密度函数的性质，整个实数范围内的积分必须等于1。因此，我们有：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} p(x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{1+x^2} \, dx = 1 \]
步骤 3：利用已知积分公式
我们知道 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \pi$，因此：
\[ k \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = k \pi = 1 \]
步骤 4：求解 $k$
从上面的等式中，我们可以解出 $k$：
\[ k = \frac{1}{\pi} \]
随机变量 $X$ 的密度函数 $p(x) = \frac{k}{1+x^2}$ 在整个实数范围内定义，因此我们需要计算从 $-\infty$ 到 $+\infty$ 的积分。
步骤 2：计算积分
根据概率密度函数的性质，整个实数范围内的积分必须等于1。因此，我们有：
\[ \int_{-\infty}^{\infty} p(x) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{k}{1+x^2} \, dx = 1 \]
步骤 3：利用已知积分公式
我们知道 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \pi$，因此：
\[ k \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \, dx = k \pi = 1 \]
步骤 4：求解 $k$
从上面的等式中，我们可以解出 $k$：
\[ k = \frac{1}{\pi} \]