题目
过点(0.5,0)且满足关系式(0.5,0)的曲线方程为(0.5,0)(0.5,0)(0.5,0)(0.5,0)
过点
且满足关系式
的曲线方程为
题目解答
答案
答案B
整理方程得，此为一阶线性微分方程，求其通解
将
代入得
，所以解得
解析
步骤 1：识别方程类型
给定的方程$y'\arcsin x+\dfrac {y}{\sqrt {1-{x}^{2}}}=1$是一个一阶线性微分方程，其中$y'$表示$y$关于$x$的导数。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是$x$的函数。给定方程可以重写为$y'\arcsin x+\dfrac {y}{\sqrt {1-{x}^{2}}}=1$，即$y'+\dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}y=\dfrac {1}{\arcsin x}$。这里$P(x)=\dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}$，$Q(x)=\dfrac {1}{\arcsin x}$。
步骤 3：使用积分因子法求解
一阶线性微分方程的通解可以通过积分因子法求得。积分因子$μ(x)=e^{\int P(x)dx}$。对于给定方程，$μ(x)=e^{\int \dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}dx}$。由于$\dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}$是$\arcsin x$的导数，所以$μ(x)=e^{\ln(\arcsin x)}=\arcsin x$。因此，方程的通解为$y\arcsin x=\int \arcsin x\cdot \dfrac {1}{\arcsin x}dx+C=\int 1dx+C=x+C$。
步骤 4：确定常数C
给定曲线过点(0.5,0)，代入$x=0.5$，$y=0$，得到$0\arcsin(0.5)=0.5+C$，解得$C=-0.5$。因此，曲线方程为$y\arcsin x=x-0.5$。
给定的方程$y'\arcsin x+\dfrac {y}{\sqrt {1-{x}^{2}}}=1$是一个一阶线性微分方程，其中$y'$表示$y$关于$x$的导数。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的一般形式为$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)$和$Q(x)$是$x$的函数。给定方程可以重写为$y'\arcsin x+\dfrac {y}{\sqrt {1-{x}^{2}}}=1$，即$y'+\dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}y=\dfrac {1}{\arcsin x}$。这里$P(x)=\dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}$，$Q(x)=\dfrac {1}{\arcsin x}$。
步骤 3：使用积分因子法求解
一阶线性微分方程的通解可以通过积分因子法求得。积分因子$μ(x)=e^{\int P(x)dx}$。对于给定方程，$μ(x)=e^{\int \dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}dx}$。由于$\dfrac {1}{\arcsin x\sqrt {1-{x}^{2}}}$是$\arcsin x$的导数，所以$μ(x)=e^{\ln(\arcsin x)}=\arcsin x$。因此，方程的通解为$y\arcsin x=\int \arcsin x\cdot \dfrac {1}{\arcsin x}dx+C=\int 1dx+C=x+C$。
步骤 4：确定常数C
给定曲线过点(0.5,0)，代入$x=0.5$，$y=0$，得到$0\arcsin(0.5)=0.5+C$，解得$C=-0.5$。因此，曲线方程为$y\arcsin x=x-0.5$。