题目
用适当的方法表示下列集合：(1) 二次函数 y = x^2 - 4 的函数值组成的集合；(2) 反比例函数 y = (2)/(x) 的自变量的取值组成的集合；(3) 不等式 3x geq 4 - 2x 的解集。
用适当的方法表示下列集合： (1) 二次函数 $y = x^2 - 4$ 的函数值组成的集合； (2) 反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的自变量的取值组成的集合； (3) 不等式 $3x \geq 4 - 2x$ 的解集。
题目解答
答案
我们来逐个分析并解决这三个集合的表示问题：
---
### **(1) 二次函数 $ y = x^2 - 4 $ 的函数值组成的集合**
**分析：**
- 函数表达式是 $ y = x^2 - 4 $。
- 我们要求的是所有可能的函数值（即 $ y $ 的取值范围）组成的集合。
- 由于这是一个开口向上的抛物线，其最小值在顶点处取得。
- 顶点横坐标为 $ x = 0 $，代入得 $ y = 0^2 - 4 = -4 $。
- 所以，函数值的最小值是 $ -4 $，最大值趋向于正无穷。
**结论：**
函数值的集合是：
$$
\{ y \in \mathbb{R} \mid y \geq -4 \}
$$
或者用区间表示为：
$$
[-4, +\infty)
$$
---
### **(2) 反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ 的自变量的取值组成的集合**
**分析：**
- 函数表达式是 $ y = \frac{2}{x} $。
- 自变量是 $ x $，所以我们要找的是使得函数有意义的所有 $ x $ 的取值。
- 由于分母不能为 0，所以 $ x \neq 0 $。
**结论：**
自变量 $ x $ 的取值集合是：
$$
\{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \}
$$
或者用区间表示为：
$$
(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)
$$
---
### **(3) 不等式 $ 3x \geq 4 - 2x $ 的解集**
**分析：**
我们来解这个不等式：
$$
3x \geq 4 - 2x
$$
**步骤 1：** 把所有含 $ x $ 的项移到一边：
$$
3x + 2x \geq 4
\Rightarrow 5x \geq 4
$$
**步骤 2：** 两边同时除以 5：
$$
x \geq \frac{4}{5}
$$
**结论：**
不等式的解集是：
$$
\left\{ x \in \mathbb{R} \mid x \geq \frac{4}{5} \right\}
$$
或者用区间表示为：
$$
\left[ \frac{4}{5}, +\infty \right)
$$
---
### **最终答案汇总：**
1. 二次函数的函数值集合：
$$
\boxed{[-4, +\infty)}
$$
2. 反比例函数的自变量取值集合：
$$
\boxed{(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)}
$$
3. 不等式的解集：
$$
\boxed{\left[ \frac{4}{5}, +\infty \right)}
$$
解析
- 二次函数的函数值集合：考查二次函数的值域。关键点是确定抛物线的开口方向和顶点坐标，从而找到最小值或最大值。
- 反比例函数的自变量集合：考查函数定义域。核心思路是分母不能为零，排除使分母为零的自变量值。
- 不等式的解集：考查解一元一次不等式的能力。破题关键是移项合并同类项，再求解。
第（1）题
确定抛物线开口方向
二次函数 $y = x^2 - 4$ 的二次项系数为 $1 > 0$，抛物线开口向上。
求顶点坐标
顶点横坐标为 $x = -\frac{b}{2a} = 0$，代入得顶点纵坐标 $y = 0^2 - 4 = -4$。
确定值域
开口向上时，函数最小值为顶点纵坐标，即 $y \geq -4$。
第（2）题
分析分母条件
反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 中，分母 $x$ 不能为 $0$。
确定定义域
所有实数中，排除 $x = 0$，即 $x \neq 0$。
第（3）题
移项合并同类项
将 $-2x$ 移到左边：$3x + 2x \geq 4$，得 $5x \geq 4$。
解不等式
两边除以 $5$：$x \geq \frac{4}{5}$。