(int )_(0)^pi ((xsin x))^2dx;

考查要点：本题主要考查定积分的计算，涉及三角函数的平方恒等式、分部积分法的应用，以及分部积分法的多次使用。

解题核心思路：

1. 三角恒等式简化：利用$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，将被积函数展开，转化为多项式与三角函数的组合。
2. 分部积分法：对含$x^2 \cos 2x$的积分，通过两次分部积分逐步降次，最终转化为可直接计算的形式。

破题关键点：

• 正确应用分部积分：在处理$x^2 \cos 2x$时，需分部两次，分别消去$x^2$和$x$项。
• 上下限代入技巧：注意$\sin 2\pi = 0$和$\cos 2\pi = 1$的特殊值，简化计算。

原式展开：
$\int_0^\pi (x \sin x)^2 dx = \int_0^\pi x^2 \sin^2 x dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi x^2 (1 - \cos 2x) dx$

拆分为两部分：
$= \frac{1}{2} \int_0^\pi x^2 dx - \frac{1}{2} \int_0^\pi x^2 \cos 2x dx$

计算第一部分：
$\frac{1}{2} \int_0^\pi x^2 dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^\pi = \frac{\pi^3}{6}$

处理第二部分：
设$u = x^2$，$dv = \cos 2x dx$，则$du = 2x dx$，$v = \frac{1}{2} \sin 2x$，分部积分得：
$\int x^2 \cos 2x dx = \frac{x^2}{2} \sin 2x - \int x \sin 2x dx$
代入上下限后，$\frac{x^2}{2} \sin 2x \bigg|_0^\pi = 0$，故：
$-\frac{1}{2} \int_0^\pi x^2 \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int_0^\pi x \sin 2x dx$

再次分部积分：
设$u = x$，$dv = \sin 2x dx$，则$du = dx$，$v = -\frac{1}{2} \cos 2x$，得：
$\int x \sin 2x dx = -\frac{x}{2} \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx$
计算得：
$-\frac{x}{2} \cos 2x \bigg|_0^\pi = -\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0 = -\frac{\pi}{2}, \quad \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = \frac{1}{4} \sin 2x \bigg|_0^\pi = 0$
因此：
$\int_0^\pi x \sin 2x dx = -\frac{\pi}{2}$

最终结果：
$\frac{\pi^3}{6} - \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^3}{6} - \frac{\pi}{4}$