题目
一人从10m深的井中提水,起始时桶中装有10kg的水,桶的质量为1kg。由于水桶滴漏,每升高1m要漏去0.2kg的水,求水桶匀速的从井中提到井口,人做的功是多少?
一人从10m深的井中提水,起始时桶中装有10kg的水,桶的质量为1kg。由于水桶滴漏,每升高1m要漏去0.2kg的水,求水桶匀速的从井中提到井口,人做的功是多少?
题目解答
答案
解:取水面为坐标原点,竖直向上为h轴正向。
高度为h时水和桶的质量:
提水所需的力为
将m=11kg,H=10m,g=9.8m/s2代入公式,得:
解析
步骤 1：确定水和桶的总质量随高度变化的函数
起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，总质量为11kg。由于水桶滴漏，每升高1m要漏去0.2kg的水，因此高度为h时水和桶的总质量为$m = 11 - 0.2h$。
步骤 2：确定提水所需的力随高度变化的函数
提水所需的力为$F = mg = (11 - 0.2h)g$，其中g为重力加速度，取9.8m/s²。
步骤 3：计算人做的功
人做的功为$A = \int_{0}^{H} Fdh = \int_{0}^{10} (11 - 0.2h)g dh$。将g=9.8m/s²代入公式，得$A = \int_{0}^{10} (11 - 0.2h)9.8 dh$。
步骤 4：计算积分
$A = 9.8 \int_{0}^{10} (11 - 0.2h) dh = 9.8 \left[ 11h - 0.1h^2 \right]_{0}^{10} = 9.8 \left[ 11 \times 10 - 0.1 \times 10^2 \right] = 9.8 \times 100 = 980J$。
起始时桶中装有10kg的水，桶的质量为1kg，总质量为11kg。由于水桶滴漏，每升高1m要漏去0.2kg的水，因此高度为h时水和桶的总质量为$m = 11 - 0.2h$。
步骤 2：确定提水所需的力随高度变化的函数
提水所需的力为$F = mg = (11 - 0.2h)g$，其中g为重力加速度，取9.8m/s²。
步骤 3：计算人做的功
人做的功为$A = \int_{0}^{H} Fdh = \int_{0}^{10} (11 - 0.2h)g dh$。将g=9.8m/s²代入公式，得$A = \int_{0}^{10} (11 - 0.2h)9.8 dh$。
步骤 4：计算积分
$A = 9.8 \int_{0}^{10} (11 - 0.2h) dh = 9.8 \left[ 11h - 0.1h^2 \right]_{0}^{10} = 9.8 \left[ 11 \times 10 - 0.1 \times 10^2 \right] = 9.8 \times 100 = 980J$。