判断下面的序列是否是周期的；若是周期的，确定其周期。(1) x(n) = A cos ( (3)/(7) pi n - (pi)/(8) ) A 是常数(2) x(n) = e^( (1)/(8) n - pi )

我们来逐题分析这两个离散时间序列是否是周期的，并在是周期的情况下确定其周期。

(1) $ x(n) = A \cos \left( \frac{3}{7} \pi n - \frac{\pi}{8} \right) $，其中 $ A $ 是常数。

解题思路：

对于离散时间余弦序列：
$x(n) = A \cos(\omega_0 n + \phi)$
它是周期序列的充要条件是：角频率 $ \omega_0 $ 与 $ 2\pi $ 的比值是有理数，即：
$\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{m}{N} \quad \text{（其中 $ m, N $ 为整数）}$
此时序列的周期为最小的正整数 $ N $，使得：
$x(n + N) = x(n) \quad \text{对所有 } n \text{ 成立}$

步骤 1：确定角频率 $ \omega_0 $

原式：
$x(n) = A \cos \left( \frac{3}{7} \pi n - \frac{\pi}{8} \right)$
所以角频率为：
$\omega_0 = \frac{3\pi}{7}$

步骤 2：判断 $ \frac{\omega_0}{2\pi} $ 是否为有理数

计算：
$\frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{\frac{3\pi}{7}}{2\pi} = \frac{3}{14}$
这是一个有理数（3 和 14 都是整数），所以该序列是周期序列。

步骤 3：求最小正周期 $ N $

周期 $ N $ 是使得：
$\omega_0 N = 2\pi k \quad \text{（$ k $ 为整数）}$
即：
$\frac{3\pi}{7} \cdot N = 2\pi k \Rightarrow \frac{3N}{7} = 2k \Rightarrow 3N = 14k$
我们要求最小的正整数 $ N $ 满足这个等式。

即 $ 3N $ 是 14 的倍数，或者说 $ N $ 是 $ \frac{14k}{3} $ 的整数。

为了 $ N $ 为整数，$ k $ 必须是 3 的倍数。令 $ k = 3 $，则：
$3N = 14 \times 3 = 42 \Rightarrow N = 14$

验证一下 $ N = 14 $ 是否满足周期性：

$x(n + 14) = A \cos\left( \frac{3\pi}{7}(n + 14) - \frac{\pi}{8} \right) = A \cos\left( \frac{3\pi}{7}n + \frac{3\pi}{7} \cdot 14 - \frac{\pi}{8} \right) = A \cos\left( \frac{3\pi}{7}n + 6\pi - \frac{\pi}{8} \right)$

由于 $ \cos(\theta + 6\pi) = \cos(\theta) $（因为余弦函数周期为 $ 2\pi $，$ 6\pi = 3 \times 2\pi $），所以：
$x(n + 14) = A \cos\left( \frac{3\pi}{7}n - \frac{\pi}{8} \right) = x(n)$

所以周期为 14。

再确认是否是最小正周期：

我们从前面知道 $ \frac{\omega_0}{2\pi} = \frac{3}{14} $，所以基本周期是：
$N = \frac{2\pi}{\omega_0} \text{ 的有理数化分母（约分后）} = \frac{14}{\gcd(3,14)} = 14$
因为 3 和 14 互质，所以最小周期就是 14。

✅ 结论（1）：是周期序列，最小正周期为 $ \boxed{14} $

(2) $ x(n) = e^{\left( \frac{1}{8} n - \pi \right)} $

我们先整理表达式：

$x(n) = e^{\frac{1}{8}n - \pi} = e^{-\pi} \cdot e^{\frac{1}{8}n}$

注意：这是一个指数增长序列，因为底数是 $ e^{1/8} > 1 $，所以随着 $ n $ 增大，$ x(n) $ 单调递增。

判断是否为周期序列

周期序列的定义是：存在正整数 $ N $，使得对所有整数 $ n $，都有：
$x(n + N) = x(n)$

我们来计算 $ x(n + N) $：
$x(n + N) = e^{-\pi} \cdot e^{\frac{1}{8}(n + N)} = e^{-\pi} \cdot e^{\frac{1}{8}n} \cdot e^{\frac{1}{8}N} = x(n) \cdot e^{\frac{1}{8}N}$

要使 $ x(n + N) = x(n) $，必须有：
$e^{\frac{1}{8}N} = 1 \Rightarrow \frac{1}{8}N = 0 \Rightarrow N = 0$

但周期 $ N $ 必须是正整数，所以不存在这样的 $ N $。

此外，从函数行为来看，$ x(n) $ 是单调递增的指数函数，不可能重复取值，因此不可能是周期序列。

✅ 结论（2）：不是周期序列。

最终答案总结：

(1) 是周期序列，最小正周期为 $ \boxed{14} $。

(2) 不是周期序列。