若 int f'(x^3)dx = x^3 + c，则 f(x)= ___。A. x + cB. (9)/(5)x^(5)/(3) + cC. x^3 + cD. (6)/(5)x^(5)/(3) + c

本题本题考查不定积分的计算以及复合函数求导的逆运算。解题的关键思路是先对已知等式两边求导，得出$f^\prime(x^3)$的表达式，再通过换元法求出$f^\prime(x)$，最后对\f^\prime(x))进行积分得到\f(x))。

1. 对等式$\(\int f^\prime(x^3)dx = x^3 + c$)两边求导：
   根据不定积分与求导的互逆运算关系，若$F^\prime(x)=f(x)$，则$\int f(x)dx = F(x)+C$，且$(\int f(x)dx)^\prime=f(x)$。
   所以对$\int f^\prime(x^3)dx = x^3 + c$两边求导可得$f^\prime(x^3)=(x^3 + c)^\prime$。
   根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，常数的导数为$0$，则$(x^3 + c)^\prime=3x^2$，即$f^\prime(x^3)=3x^2$。
2. 换元求出$f^\prime(x)$：
   令$t = x^3$，则$x = t^{\frac{1}{3}}$。
   将$x = t^{\frac{1}{3}}$代入$f^\prime(x^3)=3x^2$中，可得$f^\prime(t)=3(t^{\frac{1}{3}})^2$。
   根据幂的运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，则$3(t^{\frac{1}{3}})^2=t^{\frac{2}{3}}$，所以$f^\prime(t)=3t^{\frac{2}{3}}$。
   因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f^\prime(x)=3x^{\frac{2}{3}}$。
3. 对$f^\prime(x)$积分求出$f(x)$：
   根据不定积分积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq - 1)$，对$f^\prime(x)=3x^{\frac{2}{3}}$进行积分可得：
   $f(x)=\int 3\int x^{\frac{2}{3}}dx=3\times\frac{1}{\frac{2}{3}+1}x^{\frac{23 + 1}+C$
   先计算$\frac{2}{3}+1=\frac{2 + 3}{3}=\frac{5}{3}$，再计算$3\times\frac{1}{\frac{2}{3}+1}=3\times\frac{3}{5}=\frac{9}{5}$。
   所以$f(x)=\frac{9}{5}x^{\frac{5}{3}}+C$。