int sin (ln x)dx=

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，特别是处理含有对数函数与三角函数复合的积分问题。关键在于通过两次分部积分，建立方程并解出原积分。

解题核心思路：

1. 选择合适的分部积分变量，将原积分转化为更简单的形式；
2. 联立方程，通过两次分部积分的结果消去重复项，最终解出原积分；
3. 代数运算的准确性，确保符号和系数正确。

破题关键点：

• 两次分部积分后，将得到的两个表达式联立，通过移项合并同类项，消去重复的积分项。

分部积分法应用步骤：

1. 第一次分部积分：
   设 $u = \sin(\ln x)$，则 $du = \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx$；
   设 $dv = dx$，则 $v = x$。
   代入分部积分公式：
   $\int \sin(\ln x) dx = x \sin(\ln x) - \int x \cdot \cos(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx = x \sin(\ln x) - \int \cos(\ln x) dx.$

2. 第二次分部积分：
   对 $\int \cos(\ln x) dx$ 再次应用分部积分，设 $u = \cos(\ln x)$，则 $du = -\sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx$；
   设 $dv = dx$，则 $v = x$。
   代入分部积分公式：
   $\int \cos(\ln x) dx = x \cos(\ln x) + \int x \cdot \sin(\ln x) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) dx.$

3. 联立方程：
   将第二次分部积分的结果代入第一次的结果：
   $\int \sin(\ln x) dx = x \sin(\ln x) - \left[ x \cos(\ln x) + \int \sin(\ln x) dx \right].$
   展开整理得：
   $\int \sin(\ln x) dx = x \sin(\ln x) - x \cos(\ln x) - \int \sin(\ln x) dx.$
   将右边的 $\int \sin(\ln x) dx$ 移到左边：
   $2 \int \sin(\ln x) dx = x \left[ \sin(\ln x) - \cos(\ln x) \right].$
   最终解得：
   $\int \sin(\ln x) dx = \frac{x}{2} \left[ \sin(\ln x) - \cos(\ln x) \right] + C.$