lim_(x to 0) ( (1)/(x^2) - (1)/(x arcsin x) )

我们来求解下面这个极限：

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \arcsin x} \right)$

第一步：分析极限形式

我们观察当 $ x \to 0 $ 时：

• $ x^2 \to 0 $，所以 $ \frac{1}{x^2} \to +\infty $
• $ \arcsin x \sim x + \frac{x^3}{6} + o(x^3) $（泰勒展开）
• 所以 $ x \arcsin x \sim x \cdot x = x^2 $，即 $ x \arcsin x \to 0 $
• 因此 $ \frac{1}{x \arcsin x} \to +\infty $

所以原式是 $ \infty - \infty $ 型的不定式，不能直接代入，需要进一步化简。

第二步：通分

我们将两个分数通分：

$\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x \arcsin x} = \frac{x \arcsin x - x^2}{x^3 \arcsin x} = \frac{x(\arcsin x - x)}{x^3 \arcsin x} = \frac{\arcsin x - x}{x^2 \arcsin x}$

所以原极限变为：

$\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x - x}{x^2 \arcsin x}$

第三步：使用泰勒展开

我们对 $ \arcsin x $ 在 $ x = 0 $ 处进行泰勒展开：

$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + \frac{3}{40}x^5 + o(x^5)$

所以：

$\arcsin x - x = \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$

而分母中的 $ \arcsin x \sim x $（当 $ x \to 0 $ 时），所以：

$x^2 \arcsin x \sim x^2 \cdot x = x^3$

代入极限表达式：

$\frac{\arcsin x - x}{x^2 \arcsin x} = \frac{\frac{1}{6}x^3 + o(x^3)}{x^2 \cdot (x + \frac{1}{6}x^3 + \cdots)} = \frac{\frac{1}{6}x^3 + o(x^3)}{x^3 + \frac{1}{6}x^5 + \cdots}$

分子：$ \frac{1}{6}x^3 + o(x^3) $

分母：$ x^3(1 + \frac{1}{6}x^2 + \cdots) $

所以整体为：

$\frac{\frac{1}{6}x^3(1 + o(1))}{x^3(1 + o(1))} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 + o(1)}{1 + o(1)} \to \frac{1}{6} \quad (x \to 0)$

最终答案：

$\boxed{\frac{1}{6}}$

总结：

通过通分和泰勒展开，我们将原式化为可计算的形式，利用 $ \arcsin x $ 的三阶展开项，得出极限值为 $ \frac{1}{6} $。