梯度方向是函数在一点的方向导数取得最大值的方向A. ×B. √

本题考查梯度与方向导数的关系这一知识点。解题思路是依据梯度和方向导数的定义及相关定理来判断该命题的正确性。

设函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P(x,y)$ 处可微，$\vec{l}$ 是与 $x$ 轴正向夹角为 $\alpha$ 的方向向量，则函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P$ 沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数为：
$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos\alpha+\frac{\partial f}{\partial y}\sin\alpha$
函数 $z = f(x,y)$ 在点 $P$ 的梯度为 $\vec{grad}f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$。

根据向量点积的定义，$\frac{\partial f}{\partial l}=\vec{grad}f(x,y)\cdot(\cos\alpha,\sin\alpha)=\vert\vec{grad}f(x,y)\vert\cos\theta$，其中 $\theta$ 是梯度向量 $\vec{grad}f(x,y)$ 与方向向量 $\vec{l}$ 的夹角。

因为 $\cos\theta$ 的取值范围是 $[- 1,1]$，当 $\cos\theta = 1$，即 $\theta = 0$ 时，$\frac{\partial f}{\partial l}$ 取得最大值 $\vert\vec{grad}f(x,y)\vert$，此时方向向量 $\vec{l}$ 与梯度向量 $\vec{grad}f(x,y)$ 方向相同。

对于三元函数 $u = f(x,y,z)$ 也有类似的结论。所以梯度方向是函数在一点的方向导数取得最大值的方向，该命题正确。