练习2 (2026,3)A为三阶非零矩阵，A^*为A的伴随矩阵，若A^*=-2A，则A^2=(A)}-4-4-4.(C)}-444.

根据题意，已知 $A$ 为三阶非零矩阵，$A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且满足 $A^* = -2A$。我们需要求出 $A^2$。

推导过程：

1. 利用伴随矩阵的基本性质：
   对于任意 $n$ 阶方阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 满足以下关系式：
   $A A^* = A^* A = |A| E$
   其中 $|A|$ 是矩阵 $A$ 的行列式，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。

2. 代入已知条件：
   题目给出 $A$ 是三阶矩阵（即 $n=3$），且 $A^* = -2A$。
   将 $A^* = -2A$ 代入上述性质公式 $A A^* = |A| E$ 中，得到：
   $A (-2A) = |A| E$
   $-2 A^2 = |A| E$

3. 求矩阵 $A$ 的行列式 $|A|$：
   我们对已知等式 $A^* = -2A$ 两边同时取行列式：
   $|A^*| = |-2A|$
   根据伴随矩阵行列式的性质 $|A^*| = |A|^{n-1}$，对于三阶矩阵（$n=3$），有 $|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2$。
   根据行列式的数乘性质 $|kA| = k^n |A|$，对于三阶矩阵，有 $|-2A| = (-2)^3 |A| = -8 |A|$。
   将这两者代入等式，得到：
   $|A|^2 = -8 |A|$
   移项得：
   $|A|^2 + 8 |A| = 0$
   $|A| (|A| + 8) = 0$
   由此解得 $|A| = 0$ 或 $|A| = -8$。

4. 确定 $|A|$ 的值：

   • 如果 $|A| = 0$，那么 $A^* = -2A$。根据 $A A^* = |A| E$，有 $A(-2A) = 0$，即 $A^2 = 0$。
     如果 $A^2 = 0$，且 $A$ 是实矩阵（通常这类题目默认实矩阵），那么 $A$ 的秩 $r(A)$ 满足一定条件。
     更直接地，如果 $|A| = 0$，则 $A$ 不可逆。对于非零矩阵 $A$，若 $A^* = -2A$，若 $A$ 的秩 $r(A) < n-1$（即 $r(A) < 2$），则 $A^* = 0$，此时 $-2A = 0$，即 $A = 0$，这与题目中“$A$ 为三阶非零矩阵”矛盾。
     若 $r(A) = n-1 = 2$，则 $r(A^*) = 1$。但 $A^* = -2A$ 意味着 $r(A^*) = r(A) = 2$，这也产生矛盾。
     因此，$|A|$ 不能为 $0$。
   • 所以，必然有 $|A| = -8$。

5. 计算 $A^2$：
   将 $|A| = -8$ 代入前面得到的等式 $-2 A^2 = |A| E$ 中：
   $-2 A^2 = -8 E$
   两边同时除以 $-2$：
   $A^2 = 4 E$
   因为 $A$ 是三阶矩阵，所以 $E$ 是三阶单位矩阵：
   $A^2 = 4 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$

对比选项，(D) 选项符合推导结果。

答案：
(D)