题目

int_(L) |y| , ds = ( )，其中积分曲线 L 为双纽线[(x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2)]的弧。A. (2 - sqrt(2))a^2B. 2(2 - sqrt(2))a^2C. 3(2 - sqrt(2))a^2D. 4(2 - sqrt(2))a^2

$\int_{L} |y| \, ds = (\ )$，其中积分曲线 $L$ 为双纽线 $(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} - y^{2})$ 的弧。 A. $(2 - \sqrt{2})a^{2}$ B. $2(2 - \sqrt{2})a^{2}$ C. $3(2 - \sqrt{2})a^{2}$ D. $4(2 - \sqrt{2})a^{2}$

题目解答

答案

我们要计算的是在双纽线上的**第一类曲线积分**（对弧长的积分）： $$ \int_L |y| \, ds $$ 其中，曲线 $ L $ 是双纽线： $$ (x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2) $$ --- ## 第一步：理解双纽线的形状 双纽线是形如： $$ (x^2 + y^2)^2 = a^2(x^2 - y^2) $$ 的曲线，它是一个对称的“∞”形曲线，关于 $x$ 轴和 $y$ 轴都对称。 我们可以将它用极坐标表示，设： $$ x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta $$ 代入原式： $$ (r^2)^2 = a^2(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta) \Rightarrow r^4 = a^2 r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta) \Rightarrow r^2 = a^2 \cos(2\theta) $$ 所以双纽线在极坐标下的方程是： $$ r^2 = a^2 \cos(2\theta) \Rightarrow r = a \sqrt{\cos(2\theta)} $$ 这个表达式在 $ \cos(2\theta) \geq 0 $ 时才有实数解，即： $$ \cos(2\theta) \geq 0 \Rightarrow 2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}] \Rightarrow \theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] $$ 因此，双纽线由两个对称的“叶”组成，分别在 $ \theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $ 和 $ \theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] $。 --- ## 第二步：将积分转换为极坐标形式 我们有： - $ y = r\sin\theta $ - $ |y| = |r\sin\theta| = a\sqrt{\cos(2\theta)} |\sin\theta| $ - 弧长微元 $ ds = \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta $ 先计算 $ \frac{dr}{d\theta} $： $$ r = a \sqrt{\cos(2\theta)} = a (\cos(2\theta))^{1/2} \Rightarrow \frac{dr}{d\theta} = a \cdot \frac{1}{2} (\cos(2\theta))^{-1/2} \cdot (-2\sin(2\theta)) = -a \frac{\sin(2\theta)}{\sqrt{\cos(2\theta)}} $$ 所以： $$ \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = a^2 \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)} $$ 又因为： $$ r^2 = a^2 \cos(2\theta) $$ 所以： $$ ds = \sqrt{r^2 + \left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} \, d\theta = \sqrt{a^2 \cos(2\theta) + a^2 \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)}} \, d\theta = a \sqrt{\cos(2\theta) + \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)}} \, d\theta $$ $$ = a \sqrt{ \frac{\cos^2(2\theta) + \sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)} } \, d\theta = a \sqrt{ \frac{1}{\cos(2\theta)} } \, d\theta = \frac{a}{\sqrt{\cos(2\theta)}} \, d\theta $$ --- ## 第三步：写出积分表达式 $$ \int_L |y| \, ds = \int_{L} a \sqrt{\cos(2\theta)} |\sin\theta| \cdot \frac{a}{\sqrt{\cos(2\theta)}} \, d\theta = a^2 \int_L |\sin\theta| \, d\theta $$ 注意：由于 $ r = a \sqrt{\cos(2\theta)} $，所以 $ \theta $ 的范围是： - 第一个“叶”：$ \theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $ - 第二个“叶”：$ \theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] $ 我们分别计算这两个区间上的积分。 --- ### 第一个区间：$ \theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] $ 在这个区间上，$ \sin\theta $ 是奇函数，所以 $ |\sin\theta| $ 是偶函数，可以只算 $ [0, \frac{\pi}{4}] $ 然后乘以 2： $$ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |\sin\theta| \, d\theta = 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta \, d\theta = 2[-\cos\theta]_0^{\frac{\pi}{4}} = 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2} $$ --- ### 第二个区间：$ \theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}] $ 在这个区间上，$ \sin\theta $ 是负的，所以 $ |\sin\theta| = -\sin\theta $，我们也可以对称计算： $$ \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} |\sin\theta| \, d\theta = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} -\sin\theta \, d\theta = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \sin(-\theta) \, d\theta = \int_{-\frac{5\pi}{4}}^{-\frac{3\pi}{4}} \sin\theta \, d\theta $$ 这和第一个区间是对称的，结果也是一样的： $$ = 2 - \sqrt{2} $$ --- ## 第四步：总积分 $$ \int_L |y| \, ds = a^2 \left( (2 - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) \right) = a^2 \cdot 2(2 - \sqrt{2}) $$ --- ## ✅ 最终答案： $$ \boxed{B. \ 2(2 - \sqrt{2})a^2} $$

解析

本题考查第一类曲线积分的计算，解题思路是先将双纽线方程转化为极坐标形式，再求出弧长微元，然后将曲线积分转化为关于极角的定积分，最后利用积分的对称性进行计算。

  1. 将双纽线方程化为极坐标形式：
    已知双纽线方程$(x^{2} + y^{2})^{2} = a^{2}(x^{2} - y^{2})$，设$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，代入方程可得：
    $(r^2)^2 = a^2(r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta)$
    $r^4 = a^2 r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)$
    因为$r\neq0$（$r = 0$只是一个点，不影响积分结果），所以$r^2 = a^2 \cos(2\theta)$，即$r = a \sqrt{\cos(2\theta)}$。
    由$\cos(2\theta) \geq 0$，可得$2\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \cup [\frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}]$，即$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}] \cup [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$。
  2. 计算弧长微元$ds$：
    对$r = a \sqrt{\cos(2\theta)}$求导，根据复合函数求导法则$(u^n)^\prime = nu^{n - 1}u^\prime$，可得：
    $\frac{dr}{d\theta} = a \cdot \frac{1}{2} (\cos(2\theta))^{-1/2} \cdot (-2\sin(2\theta)) = -a \frac{\sin(2\theta)}{\sqrt{\cos(2\theta)}}$
    则$(\frac{dr}{d\theta})^2 = a^2 \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)}$。
    弧长微元$ds = \sqrt{r^2 + (\frac{dr}{d\theta})^2} d\theta$，将$r^2 = a^2 \cos(2\theta)$和$(\frac{dr}{d\theta})^2 = a^2 \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)}$代入可得：
    $\begin{align*}ds&=\sqrt{a^2 \cos(2\theta) + a^2 \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)}} d\theta\\&=a \sqrt{\cos(2\theta) + \frac{\sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)}} d\theta\\&=a \sqrt{ \frac{\cos^2(2\theta) + \sin^2(2\theta)}{\cos(2\theta)} } d\theta\\&=a \sqrt{ \frac{1}{\cos(2\theta)} } d\theta\\&=\frac{a}{\sqrt{\cos(2\theta)}} d\theta\end{align*}$
  3. 将曲线积分转化为定积分：
    已知$y = r\sin\theta = a\sqrt{\cos(2\theta)}\sin\theta$，则$\vert y\vert = a\sqrt{\cos(2\theta)}\vert\sin\theta\vert$。
    所以$\int_{L} \vert y\vert ds = \int_{L} a\sqrt{\cos(2\theta)}\vert\sin\theta\vert \cdot \frac{a}{\sqrt{\cos(2\theta)}} d\theta = a^2 \int_{L} \vert\sin\theta\vert d\theta$。
  4. 计算定积分：
    • 对于区间$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$，$\vert\sin\theta\vert$是偶函数，根据偶函数在对称区间上的积分性质$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$，可得：
      $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \vert\sin\theta\vert d\theta = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin\theta d\theta = 2[-\cos\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = 2(1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$
    • 对于区间$\theta \in [\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}]$，$\sin\theta$是负的，所以$\vert\sin\theta\vert = -\sin\theta$，则：
      $\int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} \vert\sin\theta\vert d\theta = \int_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} -\sin\theta d\theta = [\cos\theta]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}} = \cos\frac{5\pi}{4} - \cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 - \sqrt{2}$
  5. 计算总积分：
    $\int_{L} \vert y\vert ds = a^2 \left( (2 - \sqrt{2}) + (2 - \sqrt{2}) \right) = 2(2 - \sqrt{2})a^2$