求下列各极限:-|||-lim 1+tanx-√1+sinx

步骤 1：分子有理化
为了消除根号，我们首先对分子进行有理化处理。分子是 $\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}$，我们乘以它的共轭式 $\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}$，这样可以得到：
$$
\frac{\sqrt{1+\tan x} - \sqrt{1+\sin x}}{x\sin^2 x} \cdot \frac{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}}{\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}} = \frac{(1+\tan x) - (1+\sin x)}{x\sin^2 x (\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})}
$$
步骤 2：简化分子
分子简化为 $\tan x - \sin x$，因此原式变为：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x\sin^2 x (\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})}
$$
步骤 3：使用等价无穷小
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\tan x$ 和 $\sin x$ 都可以近似为 $x$，因此 $\tan x - \sin x$ 可以近似为 $x - x = 0$。但是，我们需要更精确的近似，即 $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$ 和 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$。因此，$\tan x - \sin x = x + \frac{x^3}{3} - x + \frac{x^3}{6} + O(x^5) = \frac{x^3}{2} + O(x^5)$。
步骤 4：代入并简化
将 $\tan x - \sin x$ 的近似值代入原式，得到：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x\sin^2 x (\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{x^3 (\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x})}
$$
步骤 5：计算极限
由于 $\sqrt{1+\tan x} + \sqrt{1+\sin x}$ 在 $x$ 趋近于 $0$ 时趋近于 $2$，因此原式简化为：
$$
\lim_{x\to 0} \frac{\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{2x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\frac{1}{2} + O(x^2)}{2} = \frac{1}{4}
$$