14.填空题lim_(ntoinfty)(1+(1)/(3)+(1)/(9)+...+(1)/(3^n))=_

本题考查等比数列求和公式以及数列极限的计算。解题思路是先判断所给数列的类型，确定其首项和公比，然后利用等比数列求和公式求出前$n + 1$项和的表达式，最后根据极限的运算法则求出当$n\to\infty$时该和的极限。

1. 判断数列类型并确定首项和公比：
   • 观察数列$1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\cdots,\frac{1}{3^{n}}$，从第二项起，每一项与它的前一项的比值都等于$\frac{1}{3}$，所以该数列是首项$a = 1$，公比$r=\frac{1}{3}$的等比数列。
2. 计算等比数列的前$n + 1$项和$S_{n + 1}$：
   • 根据等比数列求和公式$S_{n}=\frac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$（其中$a$为首项，$r$为公比，$n$为项数），对于本题的数列，项数为$n + 1$，则其前$n + 1$项和为：
     $S_{n+1}=\frac{1\times\left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right]}{1 - \frac{1}{3}}$
   • 对$\frac{1\times\left[1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right]}{1 - \frac{1}{3}}$进行化简：
     $S_{n+1}=\frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$
3. 求极限$\lim_{n\to\infty}S_{n + 1}$：
   • 根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(c\cdot f(n)) = c\cdot\lim_{n\to\infty}f(n)$（$c$为常数），可得：
     $\lim_{n\to\infty}S_{n+1}=\lim_{n\to\infty}\frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)=\frac{3}{2}\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$
   • 再根据极限的运算法则$\lim_{n\to\infty}(f(n)-g(n))=\lim_{n\to\infty}f(n)-\lim_{n\to\infty}g(n)$，可得：
     $\frac{3}{2}\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)=\frac{3}{2}\left(\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n+1}}\right)$
   • 因为常数的极限就是其本身，所以$\lim_{n\to\infty}1 = 1$；又因为当$n\to\infty$时，指数函数$3^{n + 1}\to\infty$，那么$\frac{1}{3^{n+1}}\to0$，即$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n+1}} = 0$。
   • 将$\lim_{n\to\infty}1 = 1$和$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n+1}} = 0$代入$\frac{3}{2}\left(\lim_{n\to\infty}1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^{n+1}}\right)$可得：
     $\frac{3}{2}\left(1 - 0\right)=\frac{3}{2}$