题目
设 D 是由 x 轴和 y = sin x (x in [0, pi])所围成，则积分 iint_(D) y , dsigma =A. (pi)/(6)B. (pi)/(4)C. (pi)/(3)D. (pi)/(2)
设 $D$ 是由 $x$ 轴和 $y = \sin x$ ($x \in [0, \pi]$)所围成，则积分 $\iint_{D} y \, d\sigma =$
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{2}$
题目解答
答案
B. $\frac{\pi}{4}$
解析
步骤 1：确定积分区域
区域 $D$ 是由 $x$ 轴和 $y = \sin x$ 在 $x \in [0, \pi]$ 所围成的区域。因此，$D$ 可以描述为 $0 \leq x \leq \pi$ 和 $0 \leq y \leq \sin x$。
步骤 2：将二重积分转换为 iterated integral
二重积分 $\iint_{D} y \, d\sigma$ 可以写成 iterated integral 的形式： \[ \iint_{D} y \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin x} y \, dy \, dx \]
步骤 3：对 $y$ 进行积分
首先，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{0}^{\sin x} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{2} \]
步骤 4：对 $x$ 进行积分
接下来，我们将这个结果对 $x$ 进行积分： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{2} \, dx \] 为了积分 $\sin^2 x$，我们使用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{2} \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{4} \, dx \] 现在，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{4} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi} \] 在 $x = \pi$ 和 $x = 0$ 处计算这个表达式： \[ \frac{1}{4} \left( \left( \pi - \frac{\sin 2\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin 0}{2} \right) \right) = \frac{1}{4} \left( \pi - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \]
区域 $D$ 是由 $x$ 轴和 $y = \sin x$ 在 $x \in [0, \pi]$ 所围成的区域。因此，$D$ 可以描述为 $0 \leq x \leq \pi$ 和 $0 \leq y \leq \sin x$。
步骤 2：将二重积分转换为 iterated integral
二重积分 $\iint_{D} y \, d\sigma$ 可以写成 iterated integral 的形式： \[ \iint_{D} y \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin x} y \, dy \, dx \]
步骤 3：对 $y$ 进行积分
首先，我们对 $y$ 进行积分： \[ \int_{0}^{\sin x} y \, dy = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{\sin x} = \frac{\sin^2 x}{2} \]
步骤 4：对 $x$ 进行积分
接下来，我们将这个结果对 $x$ 进行积分： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{2} \, dx \] 为了积分 $\sin^2 x$，我们使用恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{2} \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{4} \, dx \] 现在，我们对 $x$ 进行积分： \[ \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{4} \, dx = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{4} \left[ x - \frac{\sin 2x}{2} \right]_{0}^{\pi} \] 在 $x = \pi$ 和 $x = 0$ 处计算这个表达式： \[ \frac{1}{4} \left( \left( \pi - \frac{\sin 2\pi}{2} \right) - \left( 0 - \frac{\sin 0}{2} \right) \right) = \frac{1}{4} \left( \pi - 0 \right) = \frac{\pi}{4} \]