题目

(3)ylnydx+(x-lny)dy=0;

(3)$ylnydx+(x-lny)dy=0;$

题目解答

答案

将方程改写为： \[ \frac{dx}{dy} + \frac{x}{y \ln y} = \frac{1}{y}. \] 其中，$ P(y) = \frac{1}{y \ln y} $，$ Q(y) = \frac{1}{y} $。 计算积分因子： \[ e^{\int P(y) \, dy} = e^{\ln |\ln y|} = \ln y. \] 通解为： \[ x = \frac{1}{\ln y} \left[ \int \frac{\ln y}{y} \, dy + C \right] = \frac{1}{\ln y} \left[ \frac{(\ln y)^2}{2} + C \right] = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y}. \] **答案：** \[ \boxed{x = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y}} \]

解析

本题考查一阶线性微分方程的求解。解题思路是先将给定的方程化为一阶线性微分方程的标准形式，然后通过计算积分因子，最后利用通解公式求解。

  1. 首先将给定的方程 $ylnydx+(x-lny)dy = 0$ 变形为 $\frac{dx}{dy}+\frac{x}{y\ln y}=\frac{1}{y}$ 的形式。这里我们把 $x$ 看作因变量，$y$ 看作自变量，将方程化为一阶线性微分方程的标准形式 $\frac{dx}{dy}+P(y)x = Q(y)$，其中 $P(y)=\frac{1}{y\ln y}$，$Q(y)=\frac{1}{y}$。
  2. 接着计算积分因子 $e^{\int P(y)dy}$。
    • 计算积分 $\int P(y)dy=\int\frac{1}{y\ln y}dy$，令 $u = \ln y$，则 $du=\frac{1}{y}dy$，所以 $\int\frac{1}{y\ln y}dy=\int\frac{1}{u}du=\ln|u|=\ln|\ln y|$。
    • 那么积分因子 $e^{\int P(y)dy}=e^{\ln|\ln y|}=\ln y$。
  3. 然后根据一阶线性微分方程的通解公式 $x = \frac{1}{\mu}\left[\int\mu Q(y)dy + C\right]$（其中 $\mu = e^{\int P(y)dy}$）来求解。
    • 这里 $\mu=\ln y$，$\int\mu Q(y)dy=\int\ln y\cdot\frac{1}{y}dy$，令 $t=\ln y$，则 $dt=\frac{1}{y}dy$，所以 $\int\ln y\cdot\frac{1}{y}dy=\int tdt=\frac{t^{2}}{2}=\frac{(\ln y)^{2}}{2}$。
    • 则通解 $x = \frac{1}{\ln y}\left[\int\frac{\ln y}{y}dy + C\right]=\frac{1}{\ln y}\left[\frac{(\ln y)^{2}}{2}+C\right]=\frac{\ln y}{2}+\frac{C}{\ln y}$。