质量 m=1(kg) 的物体，在坐标原点处从静止出发在水平面内沿 x 轴运动，其所受合力方向与运动方向相同，合力大小为 F=3+4x N，则物体在开始运动的 3(m) 内，求: 第一问，合力所作的功 W; 第二问，当 x=3(m) 时，其速率。

本题主要考查变力做功的计算以及动能定理的应用。解题思路如下：

1. 计算合力所做的功：
   • 由于合力大小随位移变化，即$F = 3 + 4x$，是一个变力，所以需要使用积分来计算功。根据功的定义，变力做功$W=\int_{x_1}^{x_2}Fdx$，其中$x_1$和$x_2$分别是物体运动的起始和终止位置，$F$是变力。
   • 已知物体从$x = 0$运动到$x = 3m$，合力$F = 3 + 4x$，将其代入功的积分公式可得：
     $W=\int_{0}^{3}(3 + 4x)dx$
   • 根据积分运算法则$\int(ax + b)dx=\frac{1}{2}ax^2+bx + C$（$C$为常数），对$\int_{0}^{3}(3 + 4x)dx$进行计算：
     $\int_{0}^{3}(3 + 4x)dx=\int_{0}^{3}3dx+\int_{0}^{3}4xdx$
     $=3x\big|_{0}^{3}+4\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{3}$
     $=3x\big|_{0}^{3}+2x^2\big|_{0}^{3}$
   • 再根据牛顿 - 莱布尼茨公式$F(x)\big|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，可得：
     $3x\big|_{0}^{3}+2x^2\big|_{0}^{3}=(3\times3 - 3\times0)+(2\times3^2 - 2\times0^2)$
     $=9 + 18$
     $= 27J$
2. 计算当$x = 3m$时物体的速率：
   • 根据动能定理，合外力对物体所做的功等于物体动能的变化量，即$W=\Delta E_k=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{2}mv_0^2$，其中$m$是物体的质量，$v$是物体的末速度，$v_0$是物体的初速度。
   • 已知物体从静止出发，所以$v_0 = 0$，$m = 1kg$，$W = 27J$，将其代入动能定理公式可得：
     $27=\frac{1}{2}\times1\times v^2 - \frac{1}{2}\times1\times0^2$
     $27=\frac{1}{2}v^2$
   • 求解上述方程可得：
     $v^2 = 27\times2 = 54$
     $v=\sqrt{54}=3\sqrt{6}m/s$