求微分方程 cos dfrac (y)(x)dy=(ycos dfrac (y)(x)-x)dx 的通解.

考查要点：本题主要考查齐次微分方程的解法，涉及变量替换和分离变量法的应用。

解题核心思路：

1. 识别齐次方程结构：方程中出现$\dfrac{y}{x}$的组合，提示令$u = \dfrac{y}{x}$进行变量替换。
2. 分离变量：通过替换将方程转化为关于$u$和$x$的可分离变量方程。
3. 积分求解：对分离后的变量分别积分，最后回代得到通解。

破题关键点：

• 正确进行变量替换，将原方程转化为标准形式。
• 准确分离变量，确保积分过程无误。

步骤1：整理方程

原方程变形为：
$\cos \dfrac{y}{x} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \cos \dfrac{y}{x} - 1$

步骤2：变量替换

令$u = \dfrac{y}{x}$，则$y = ux$，代入导数关系$\dfrac{dy}{dx} = u + x \dfrac{du}{dx}$，方程变为：
$\cos u \left( u + x \dfrac{du}{dx} \right) = u \cos u - 1$

步骤3：分离变量

展开并整理得：
$x \cos u \dfrac{du}{dx} = -1 \quad \Rightarrow \quad \cos u \, du = -\dfrac{1}{x} dx$

步骤4：积分求解

两边积分：
$\int \cos u \, du = -\int \dfrac{1}{x} dx$
结果为：
$\sin u = -\ln |x| + C$

步骤5：回代变量

将$u = \dfrac{y}{x}$代入，得通解：
$\sin \dfrac{y}{x} = -\ln |x| + C$