题目
设f(x)= ,xgeqslant 0 dfrac {1)(1+{e)^x},xlt 0 ...
设
，求
.
题目解答
答案
令x-1=t
原式
.
解析
步骤 1：定义函数f(x)
根据题目，函数f(x)定义为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{1+x}, & x \geqslant 0 \\
1+e^x, & x < 0
\end{cases} \]
步骤 2：计算积分
题目要求计算积分$\int_{-1}^{1} f(x) dx$。根据函数f(x)的定义，这个积分可以分为两部分：
\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx \]
步骤 3：计算第一部分积分
对于$x < 0$，$f(x) = 1 + e^x$，所以
\[ \int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (1 + e^x) dx = [x + e^x]_{-1}^{0} = (0 + e^0) - (-1 + e^{-1}) = 1 + 1 - \dfrac{1}{e} = 2 - \dfrac{1}{e} \]
步骤 4：计算第二部分积分
对于$x \geqslant 0$，$f(x) = \dfrac{1}{1+x}$，所以
\[ \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x} dx = [\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \]
步骤 5：合并结果
将两部分积分结果合并，得到
\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx = 2 - \dfrac{1}{e} + \ln(2) \]
根据题目，函数f(x)定义为：
\[ f(x) = \begin{cases}
\dfrac{1}{1+x}, & x \geqslant 0 \\
1+e^x, & x < 0
\end{cases} \]
步骤 2：计算积分
题目要求计算积分$\int_{-1}^{1} f(x) dx$。根据函数f(x)的定义，这个积分可以分为两部分：
\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{0} f(x) dx + \int_{0}^{1} f(x) dx \]
步骤 3：计算第一部分积分
对于$x < 0$，$f(x) = 1 + e^x$，所以
\[ \int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (1 + e^x) dx = [x + e^x]_{-1}^{0} = (0 + e^0) - (-1 + e^{-1}) = 1 + 1 - \dfrac{1}{e} = 2 - \dfrac{1}{e} \]
步骤 4：计算第二部分积分
对于$x \geqslant 0$，$f(x) = \dfrac{1}{1+x}$，所以
\[ \int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} \dfrac{1}{1+x} dx = [\ln(1+x)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \]
步骤 5：合并结果
将两部分积分结果合并，得到
\[ \int_{-1}^{1} f(x) dx = 2 - \dfrac{1}{e} + \ln(2) \]