题目

15) int tan^10xcdotsec^2xdx;

15) $\int \tan^{10}x\cdot\sec^{2}xdx;$

题目解答

答案

要解决积分 $\int \tan^{10}x \cdot \sec^2 x \, dx$，我们可以使用换元法。设 $u = \tan x$。那么，我们需要找到 $du$。 根据三角函数的求导法则，我们知道 $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$。因此，我们有： \[ du = \sec^2 x \, dx. \] 将 $u = \tan x$ 和 $du = \sec^2 x \, dx$ 代入原积分，我们得到： \[ \int \tan^{10}x \cdot \sec^2 x \, dx = \int u^{10} \, du. \] 现在，我们需要计算 $\int u^{10} \, du$。根据幂函数的积分法则，$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），我们有： \[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + C. \] 将 $u = \tan x$ 代回，我们得到： \[ \frac{u^{11}}{11} + C = \frac{\tan^{11} x}{11} + C. \] 因此，原积分的解是： \[ \boxed{\frac{\tan^{11} x}{11} + C}. \]

解析

本题考查不定积分的换元积分法。解题的关键思路是通过合适的变量代换，将复杂的三角函数积分转化为简单的幂函数积分，再利用幂函数的积分公式进行求解。

  1. 进行变量代换：
    • 设$u = \tan x$。
    • 对$u = \tan x$求导，根据求导公式$(\tan x)^\prime=\sec^{2}x$，可得$du=\sec^{2}x dx$。
  2. 将原积分转化为关于$u$的积分：
    • 把$u = \tan x$和$du=\sec^{2}x dx$代入原积分$\int\tan^{10}x\cdot\sec^{2}x dx$中，得到$\int u^{10}du$。
  3. 计算关于$u$的积分：
    • 根据幂函数的积分公式$\int u^{n}du=\frac{u^{n + 1}}{n+1}+C$（$n\neq - 1$），对于$\int u^{10}du$，这里$n = 10$，则$\int u^{10}du=\frac{u^{10 + 1}}{10+1}+C=\frac{u^{11}}{11}+C$。
  4. 回代变量：
    • 把$u=\tan x$代回$\frac{u^{11}}{11}+C$，得到$\frac{\tan^{11}x}{11}+C$。