15) int tan^10xcdotsec^2xdx;

要解决积分 $\int \tan^{10}x \cdot \sec^2 x \, dx$，我们可以使用换元法。设 $u = \tan x$。那么，我们需要找到 $du$。 根据三角函数的求导法则，我们知道 $\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$。因此，我们有： \[ du = \sec^2 x \, dx. \] 将 $u = \tan x$ 和 $du = \sec^2 x \, dx$ 代入原积分，我们得到： \[ \int \tan^{10}x \cdot \sec^2 x \, dx = \int u^{10} \, du. \] 现在，我们需要计算 $\int u^{10} \, du$。根据幂函数的积分法则，$\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$（其中 $n \neq -1$），我们有： \[ \int u^{10} \, du = \frac{u^{11}}{11} + C. \] 将 $u = \tan x$ 代回，我们得到： \[ \frac{u^{11}}{11} + C = \frac{\tan^{11} x}{11} + C. \] 因此，原积分的解是： \[ \boxed{\frac{\tan^{11} x}{11} + C}. \]