题目
3、若 A^2=A· 则A的特征值为 ()-|||-○ A. -1 或1-|||-○ B.0或1 ()-|||-C.0-|||-○ D.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解特征值的定义
特征值是矩阵A的特征方程$det(A-\lambda I)=0$的根，其中$\lambda$是特征值，$I$是单位矩阵。
步骤 2：利用已知条件${A}^{2}=A$
由${A}^{2}=A$，可以得到$A(A-I)=0$，即矩阵A与矩阵$(A-I)$的乘积为零矩阵。
步骤 3：分析特征值
设$\lambda$是矩阵A的特征值，那么存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$。将$Ax=\lambda x$代入${A}^{2}=A$，得到$A(Ax)=A(\lambda x)$，即$A^2x=\lambda Ax$。由于${A}^{2}=A$，所以$Ax=\lambda Ax$，即$\lambda Ax=\lambda^2 x$。因为$Ax=\lambda x$，所以$\lambda^2 x=\lambda x$。由于$x$是非零向量，所以$\lambda^2=\lambda$，解得$\lambda=0$或$\lambda=1$。
特征值是矩阵A的特征方程$det(A-\lambda I)=0$的根，其中$\lambda$是特征值，$I$是单位矩阵。
步骤 2：利用已知条件${A}^{2}=A$
由${A}^{2}=A$，可以得到$A(A-I)=0$，即矩阵A与矩阵$(A-I)$的乘积为零矩阵。
步骤 3：分析特征值
设$\lambda$是矩阵A的特征值，那么存在非零向量$x$，使得$Ax=\lambda x$。将$Ax=\lambda x$代入${A}^{2}=A$，得到$A(Ax)=A(\lambda x)$，即$A^2x=\lambda Ax$。由于${A}^{2}=A$，所以$Ax=\lambda Ax$，即$\lambda Ax=\lambda^2 x$。因为$Ax=\lambda x$，所以$\lambda^2 x=\lambda x$。由于$x$是非零向量，所以$\lambda^2=\lambda$，解得$\lambda=0$或$\lambda=1$。