题目
设A,B为n阶方阵,则 ((A+B))^2=(A)^2+2AB+(B)^2 的充要条件为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：展开 ${(A+B)}^{2}$
根据矩阵乘法的定义，我们有：
${(A+B)}^{2} = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = {A}^{2} + AB + BA + {B}^{2}$
步骤 2：比较 ${(A+B)}^{2}$ 和 ${A}^{2}+2AB+{B}^{2}$
要使 ${(A+B)}^{2} = {A}^{2}+2AB+{B}^{2}$ 成立，我们需要：
${A}^{2} + AB + BA + {B}^{2} = {A}^{2} + 2AB + {B}^{2}$
这意味着：
$AB + BA = 2AB$
$BA = AB$
步骤 3：得出结论
$BA = AB$ 表明矩阵A和B可以交换，即A和B可交换。
根据矩阵乘法的定义，我们有：
${(A+B)}^{2} = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = {A}^{2} + AB + BA + {B}^{2}$
步骤 2：比较 ${(A+B)}^{2}$ 和 ${A}^{2}+2AB+{B}^{2}$
要使 ${(A+B)}^{2} = {A}^{2}+2AB+{B}^{2}$ 成立，我们需要：
${A}^{2} + AB + BA + {B}^{2} = {A}^{2} + 2AB + {B}^{2}$
这意味着：
$AB + BA = 2AB$
$BA = AB$
步骤 3：得出结论
$BA = AB$ 表明矩阵A和B可以交换，即A和B可交换。