题目
平面 A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 与平面 A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 平行但不重合的充要条件是 ()A. (A_1, B_1, C_1) 与 (A_2, B_2, C_2) 平行B. (A_1, B_1, C_1) 与 (A_2, B_2, C_2) 垂直C. (A_1)/(A_2) = (B_1)/(B_2) = (C_1)/(C_2)D. (A_1)/(A_2) = (B_1)/(B_2) = (C_1)/(C_2) neq (D_1)/(D_2)
平面 $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ 与平面 $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ 平行但不重合的充要条件是 ()
A. $(A_1, B_1, C_1)$ 与 $(A_2, B_2, C_2)$ 平行
B. $(A_1, B_1, C_1)$ 与 $(A_2, B_2, C_2)$ 垂直
C. $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
D. $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$
题目解答
答案
D. $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$
解析
步骤 1：平面平行的条件
两个平面平行，它们的法向量必须平行。平面 $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ 的法向量是 $(A_1, B_1, C_1)$，平面 $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ 的法向量是 $(A_2, B_2, C_2)$。因此，这两个平面平行的条件是 $(A_1, B_1, C_1)$ 与 $(A_2, B_2, C_2)$ 平行，即存在一个非零常数 $k$，使得
\[A_1 = kA_2, \quad B_1 = kB_2, \quad C_1 = kC_2.\]
这可以写成
\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.\]
步骤 2：平面不重合的条件
两个平面平行但不重合，它们的常数项 $D_1$ 和 $D_2$ 必须不满足上述比例关系。即
\[D_1 \neq kD_2,\]
或者写成
\[\frac{D_1}{D_2} \neq k = \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.\]
因此，两个平面平行但不重合的条件是
\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}.\]
两个平面平行，它们的法向量必须平行。平面 $A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ 的法向量是 $(A_1, B_1, C_1)$，平面 $A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ 的法向量是 $(A_2, B_2, C_2)$。因此，这两个平面平行的条件是 $(A_1, B_1, C_1)$ 与 $(A_2, B_2, C_2)$ 平行，即存在一个非零常数 $k$，使得
\[A_1 = kA_2, \quad B_1 = kB_2, \quad C_1 = kC_2.\]
这可以写成
\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.\]
步骤 2：平面不重合的条件
两个平面平行但不重合，它们的常数项 $D_1$ 和 $D_2$ 必须不满足上述比例关系。即
\[D_1 \neq kD_2,\]
或者写成
\[\frac{D_1}{D_2} \neq k = \frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}.\]
因此，两个平面平行但不重合的条件是
\[\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}.\]