题目
以质量为m的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由ν减少到ν/2。已知摆锤的质量为m'，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，在冲击摆问题中，若以质量为m'的均匀细棒代替柔绳，弹丸速度的最小值应是多少?l-|||-D-|||-B
以质量为m的弹丸，穿过如图所示的摆锤后，速率由ν减少到ν/2。已知摆锤的质量为m'，摆线长度为l，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，在冲击摆问题中，若以质量为m'的均匀细棒代替柔绳，弹丸速度的最小值应是多少?
题目解答
答案
如果以细棒代替柔绳，弹丸对棒端摆锤的冲击会使细棒围绕过O点的水平轴转动，这就是一个刚体绕定轴转动的问题。在弹丸穿过摆锤的过程中，由弹丸、摆锤和细棒组成的系统没有受到外力矩的作用，系统的角动量是守恒的。
解析
步骤 1：确定系统角动量守恒
在弹丸穿过摆锤的过程中，由于没有外力矩作用，系统的角动量是守恒的。因此，弹丸穿过摆锤前后的角动量相等。
步骤 2：计算角动量守恒方程
设弹丸穿过摆锤前的速度为ν，穿过摆锤后的速度为ν/2。摆锤的质量为m'，摆线长度为l。弹丸穿过摆锤后，摆锤开始绕过O点的水平轴转动。根据角动量守恒定律，有：
$$
m \nu l = m' v_h l + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2} l
$$
其中，$v_h$是摆锤在最低点的速度。
步骤 3：计算摆锤完成圆周运动的条件
摆锤在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，需要满足机械能守恒定律。在最低点和最高点，摆锤的动能和势能之和保持不变。在最高点，摆锤的速度至少为$\sqrt{gl}$，以克服重力做功。因此，有：
$$
\frac{1}{2} m' v_h^2 = 2 m' g l + \frac{1}{2} m' (\sqrt{gl})^2
$$
解上述方程，可得摆锤在最低点的速度$v_h$。
步骤 4：求解弹丸速度的最小值
将$v_h$代入角动量守恒方程，解出弹丸速度的最小值$v$。
$$
m \nu l = m' v_h l + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2} l
$$
$$
v_h = \sqrt{5gl}
$$
$$
m \nu l = m' \sqrt{5gl} l + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2} l
$$
$$
m \nu = m' \sqrt{5gl} + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2}
$$
$$
m \nu = m' \sqrt{5gl} + \frac{1}{4} m \nu
$$
$$
\frac{3}{4} m \nu = m' \sqrt{5gl}
$$
$$
\nu = \frac{4 m'}{3 m} \sqrt{5gl}
$$
在弹丸穿过摆锤的过程中，由于没有外力矩作用，系统的角动量是守恒的。因此，弹丸穿过摆锤前后的角动量相等。
步骤 2：计算角动量守恒方程
设弹丸穿过摆锤前的速度为ν，穿过摆锤后的速度为ν/2。摆锤的质量为m'，摆线长度为l。弹丸穿过摆锤后，摆锤开始绕过O点的水平轴转动。根据角动量守恒定律，有：
$$
m \nu l = m' v_h l + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2} l
$$
其中，$v_h$是摆锤在最低点的速度。
步骤 3：计算摆锤完成圆周运动的条件
摆锤在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，需要满足机械能守恒定律。在最低点和最高点，摆锤的动能和势能之和保持不变。在最高点，摆锤的速度至少为$\sqrt{gl}$，以克服重力做功。因此，有：
$$
\frac{1}{2} m' v_h^2 = 2 m' g l + \frac{1}{2} m' (\sqrt{gl})^2
$$
解上述方程，可得摆锤在最低点的速度$v_h$。
步骤 4：求解弹丸速度的最小值
将$v_h$代入角动量守恒方程，解出弹丸速度的最小值$v$。
$$
m \nu l = m' v_h l + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2} l
$$
$$
v_h = \sqrt{5gl}
$$
$$
m \nu l = m' \sqrt{5gl} l + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2} l
$$
$$
m \nu = m' \sqrt{5gl} + \frac{1}{2} m \frac{\nu}{2}
$$
$$
m \nu = m' \sqrt{5gl} + \frac{1}{4} m \nu
$$
$$
\frac{3}{4} m \nu = m' \sqrt{5gl}
$$
$$
\nu = \frac{4 m'}{3 m} \sqrt{5gl}
$$