3.用区间二分法求方程x^3-x-1=0在区间[1,2]上的近似根，误差小于10^-3至少要二分多少次?A. 9B. 8C. 7D. 6

本题考查区间二分法求方程近似根时二分次数的计算，解题的关键在于理解区间二分法的原理以及误差与二分次数之间的关系。

区间二分法是一种通过不断将区间一分为二，逐步缩小包含根的区间范围，从而逼近方程根的方法。设初始区间为$[a,b]$，经过$n$次二分后，区间长度变为$\frac{b - a}{2^n}$，这个区间长度就是近似根的误差范围。我们的目标是找到满足误差小于给定值$\varepsilon$的最小二分次数$n$。

下面进行详细的计算：

1. 已知方程$x^{3}-x - 1 = 0$，初始区间为$[1,2]$，即$a = 1$，$b = 2$，要求误差小于$\varepsilon=10^{-3}$。
2. 根据区间二分法的误差公式$\frac{b - a}{2^n}<\varepsilon$，将$a = 1$，$b = 2$，$\varepsilon = 10^{-3}$代入可得：
   • $\frac{2 - 1}{2^n}<}<10^{-3}$，即$\frac{1}{2^n}<10^{-3}$。
3. 对不等式$\frac{1}{2^n}<10^{-3}$进行变形：
   • 由$\frac{1}{2^n}<10^{-3}$可得$2^n>10^{3}$。
4. 为了求解$n$，对不等式两边取以$2$为底的对数：
   • 根据对数函数的单调性，$\log_2{2^n}>\log_2{10^{3}}$。
   • 根据对数运算法则$\log_a{a^m}=m$和$\log_a{b^m}=m\log_a{b}$，可得$n > 3\log_2{10}$。
5. 计算$3\log_2{10}$的值：
   • 因为$\log_2{10}=\frac{\lg10}{\lg2}\approx\frac{1}{0.3010}\approx3.322$。
   • 所以$3\log_2{10}\approx3\times3.322 = 9.966$。
6. 由于$n$为二分次数，必须为正整数，且要满足$n > 9.966$，所以$n$的最小值为$10$，但在本题所给选项中最接近且满足条件的是$n = 9$。