题目
与双曲线(({x^2)})/(2)-(y^2)=1有相同渐近线，且与椭圆(({y^2)})/(4)+(x^2)=1有共同焦点的双曲线方程是（ ）A. (x^2)-(({y^2)})/(2)=1B. (y^2)-(({x^2)})/(2)=1C. (({x^2)})/(4)-(y^2)=1D. (({y^2)})/(2)-(x^2)=1
与双曲线$\frac{{{x^2}}}{2}-{y^2}=1$有相同渐近线，且与椭圆$\frac{{{y^2}}}{4}+{x^2}=1$有共同焦点的双曲线方程是（ ）
A. ${x^2}-\frac{{{y^2}}}{2}=1$
B. ${y^2}-\frac{{{x^2}}}{2}=1$
C. $\frac{{{x^2}}}{4}-{y^2}=1$
D. $\frac{{{y^2}}}{2}-{x^2}=1$
题目解答
答案
B. ${y^2}-\frac{{{x^2}}}{2}=1$
解析
步骤 1：确定双曲线的渐近线
双曲线$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$的渐近线为$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。这是因为渐近线的方程可以通过将双曲线方程中的1替换为0得到，即$\frac{x^2}{2} - y^2 = 0$，解得$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
步骤 2：确定椭圆的焦点
椭圆$\frac{y^2}{4} + x^2 = 1$的焦点可以通过计算$c = \sqrt{a^2 - b^2}$得到，其中$a^2 = 4$，$b^2 = 1$。因此，$c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$。所以椭圆的焦点为$(0, \pm \sqrt{3})$。
步骤 3：确定双曲线的方程
因为所求的双曲线与给定的双曲线有相同的渐近线，所以其方程可以写为$\frac{x^2}{2} - y^2 = \lambda$，其中$\lambda$是一个常数。因为双曲线与椭圆有共同的焦点，所以$c = \sqrt{3}$。对于双曲线，$c^2 = a^2 + b^2$，其中$a^2 = -2\lambda$，$b^2 = -\lambda$。因此，$3 = -2\lambda - \lambda$，解得$\lambda = -1$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2} - y^2 = -1$，即$y^2 - \frac{x^2}{2} = 1$。
双曲线$\frac{x^2}{2} - y^2 = 1$的渐近线为$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。这是因为渐近线的方程可以通过将双曲线方程中的1替换为0得到，即$\frac{x^2}{2} - y^2 = 0$，解得$y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
步骤 2：确定椭圆的焦点
椭圆$\frac{y^2}{4} + x^2 = 1$的焦点可以通过计算$c = \sqrt{a^2 - b^2}$得到，其中$a^2 = 4$，$b^2 = 1$。因此，$c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$。所以椭圆的焦点为$(0, \pm \sqrt{3})$。
步骤 3：确定双曲线的方程
因为所求的双曲线与给定的双曲线有相同的渐近线，所以其方程可以写为$\frac{x^2}{2} - y^2 = \lambda$，其中$\lambda$是一个常数。因为双曲线与椭圆有共同的焦点，所以$c = \sqrt{3}$。对于双曲线，$c^2 = a^2 + b^2$，其中$a^2 = -2\lambda$，$b^2 = -\lambda$。因此，$3 = -2\lambda - \lambda$，解得$\lambda = -1$。所以双曲线的方程为$\frac{x^2}{2} - y^2 = -1$，即$y^2 - \frac{x^2}{2} = 1$。