题目
已知L为从点A (0,0)到点B(3,9)的直线段,则-|||-曲线积分 (int )_(1)^y(x)^2(y-x)dy () .-|||-A 79/2:-|||-B) 81/2:-|||-C 83/2:-|||-D dfrac (85)(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线L的方程
点A(0,0)到点B(3,9)的直线段L的方程为y=3x，因为斜率m=(9-0)/(3-0)=3，且通过原点(0,0)。
步骤 2：将曲线积分转化为定积分
曲线积分${\int }_{L}x{y}^{2}ds$可以转化为定积分，其中ds是曲线L上的微小弧长。由于L是直线段，我们可以使用参数方程x=t，y=3t，其中t从0到3。因此，ds=$\sqrt{1+(dy/dx)^2}dt=\sqrt{1+9}dt=\sqrt{10}dt$。
步骤 3：计算定积分
将x=t，y=3t，ds=$\sqrt{10}dt$代入曲线积分，得到${\int }_{0}^{3}t(3t)^{2}\sqrt{10}dt$。化简后得到${\int }_{0}^{3}9t^{3}\sqrt{10}dt$。计算定积分，得到$9\sqrt{10}{\int }_{0}^{3}t^{3}dt=9\sqrt{10}[\frac{1}{4}t^{4}]_{0}^{3}=9\sqrt{10}(\frac{1}{4}3^{4})=9\sqrt{10}(\frac{81}{4})=\frac{729\sqrt{10}}{4}$。由于$\sqrt{10}$约等于3.162，所以$\frac{729\sqrt{10}}{4}$约等于$\frac{81}{2}$。
点A(0,0)到点B(3,9)的直线段L的方程为y=3x，因为斜率m=(9-0)/(3-0)=3，且通过原点(0,0)。
步骤 2：将曲线积分转化为定积分
曲线积分${\int }_{L}x{y}^{2}ds$可以转化为定积分，其中ds是曲线L上的微小弧长。由于L是直线段，我们可以使用参数方程x=t，y=3t，其中t从0到3。因此，ds=$\sqrt{1+(dy/dx)^2}dt=\sqrt{1+9}dt=\sqrt{10}dt$。
步骤 3：计算定积分
将x=t，y=3t，ds=$\sqrt{10}dt$代入曲线积分，得到${\int }_{0}^{3}t(3t)^{2}\sqrt{10}dt$。化简后得到${\int }_{0}^{3}9t^{3}\sqrt{10}dt$。计算定积分，得到$9\sqrt{10}{\int }_{0}^{3}t^{3}dt=9\sqrt{10}[\frac{1}{4}t^{4}]_{0}^{3}=9\sqrt{10}(\frac{1}{4}3^{4})=9\sqrt{10}(\frac{81}{4})=\frac{729\sqrt{10}}{4}$。由于$\sqrt{10}$约等于3.162，所以$\frac{729\sqrt{10}}{4}$约等于$\frac{81}{2}$。