题目
设 A^* 为 n 阶方阵 (n geq 2)A 的伴随矩阵，则 ()A. 若 A 的秩为 1，则 A^* 的秩也有为 1，B. 若 A 的秩为 n-1，则 A^* 的秩也为 n-1，C. 若 A 为满秩方阵，则 A^* 也是满秩方阵，D. 若 A 为非零矩阵，则 A^* 也就是非零矩阵。
设 $A^*$ 为 $n$ 阶方阵 ($n \geq 2$)$A$ 的伴随矩阵，则 ()
A. 若 $A$ 的秩为 1，则 $A^*$ 的秩也有为 1，
B. 若 $A$ 的秩为 $n-1$，则 $A^*$ 的秩也为 $n-1$，
C. 若 $A$ 为满秩方阵，则 $A^*$ 也是满秩方阵，
D. 若 $A$ 为非零矩阵，则 $A^*$ 也就是非零矩阵。
题目解答
答案
C. 若 $A$ 为满秩方阵，则 $A^*$ 也是满秩方阵，
解析
步骤 1：分析选项A
若 $\text{rank}(A) = 1$，则 $A$ 的所有 $2 \times 2$ 子式为零，当 $n \geq 3$ 时，$A^*$ 为零矩阵，秩为0，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若 $\text{rank}(A) = n-1$，则 $AA^* = 0$，$A^*$ 的秩最多为1，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
若 $A$ 满秩（$\text{rank}(A) = n$），则 $A^* = |A|A^{-1}$ 也满秩，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若 $A$ 非零但 $\text{rank}(A) < n-1$，则 $A^*$ 为零矩阵，因此选项D错误。
若 $\text{rank}(A) = 1$，则 $A$ 的所有 $2 \times 2$ 子式为零，当 $n \geq 3$ 时，$A^*$ 为零矩阵，秩为0，因此选项A错误。
步骤 2：分析选项B
若 $\text{rank}(A) = n-1$，则 $AA^* = 0$，$A^*$ 的秩最多为1，因此选项B错误。
步骤 3：分析选项C
若 $A$ 满秩（$\text{rank}(A) = n$），则 $A^* = |A|A^{-1}$ 也满秩，因此选项C正确。
步骤 4：分析选项D
若 $A$ 非零但 $\text{rank}(A) < n-1$，则 $A^*$ 为零矩阵，因此选项D错误。