题目
2.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：(1)sum_(n=1)^infty(sqrt(n+1)-sqrt(n));(2)(1)/(1times 3)+(1)/(3times 5)+(1)/(5times 7)+...+(1)/((2n-1)(2n+1))+...;
2.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性：
(1)$\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$;
(2)$\frac{1}{1\times 3}+\frac{1}{3\times 5}+\frac{1}{5\times 7}+\cdots+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}+\cdots$;
题目解答
答案
(1) **发散**
部分和 $S_n = \sqrt{n+1} - 1$，当 $n \to \infty$ 时，$S_n \to \infty$，级数发散。
(2) **收敛**
通项 $u_n = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$，部分和 $S_n = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \to \frac{1}{2}$，级数收敛。
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & \text{发散} \\
2. & \text{收敛} \\
\end{array}
}
\]
解析
步骤 1：分析级数 (1)
级数 (1) 的通项为 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$。我们可以通过有理化来简化这个表达式。有理化后，我们得到：
\[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \]
步骤 2：分析级数 (1) 的部分和
级数 (1) 的部分和 $S_n$ 可以表示为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1 \]
当 $n \to \infty$ 时，$S_n \to \infty$，因此级数 (1) 发散。
步骤 3：分析级数 (2)
级数 (2) 的通项为 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$。我们可以通过部分分式分解来简化这个表达式。分解后，我们得到：
\[ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \]
步骤 4：分析级数 (2) 的部分和
级数 (2) 的部分和 $S_n$ 可以表示为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \]
当 $n \to \infty$ 时，$S_n \to \frac{1}{2}$，因此级数 (2) 收敛。
级数 (1) 的通项为 $\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$。我们可以通过有理化来简化这个表达式。有理化后，我们得到：
\[ \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{(n+1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \]
步骤 2：分析级数 (1) 的部分和
级数 (1) 的部分和 $S_n$ 可以表示为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1} - \sqrt{k}) = \sqrt{n+1} - \sqrt{1} = \sqrt{n+1} - 1 \]
当 $n \to \infty$ 时，$S_n \to \infty$，因此级数 (1) 发散。
步骤 3：分析级数 (2)
级数 (2) 的通项为 $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$。我们可以通过部分分式分解来简化这个表达式。分解后，我们得到：
\[ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) \]
步骤 4：分析级数 (2) 的部分和
级数 (2) 的部分和 $S_n$ 可以表示为：
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) \]
当 $n \to \infty$ 时，$S_n \to \frac{1}{2}$，因此级数 (2) 收敛。