题目
27.填空题 设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A^TA|=
27.填空题 设A为3阶矩阵，且$|A|=2$，则$|A^{T}A|=$
题目解答
答案
根据矩阵行列式的性质，有： 1. $ |A^T| = |A| $； 2. $ |AB| = |A||B| $。 因此，$ |A^T A| = |A^T| |A| = |A|^2 $。已知 $ |A| = 2 $，则： \[ |A^T A| = 2^2 = 4. \] 答案：$\boxed{4}$。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵行列式的两个重要性质：转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，以及矩阵乘积的行列式等于各矩阵行列式的乘积。
解题核心思路：
- 利用转置矩阵的行列式性质，将$|A^T$与$|A|$联系起来。
- 利用矩阵乘积的行列式性质，将$|A^T A|$分解为$|A^T| \cdot |A|$。
- 结合已知条件$|A|=2$，代入计算即可。
破题关键点：
- 明确行列式的性质适用条件（如矩阵需为方阵）。
- 正确分步应用性质，避免混淆运算顺序。
根据矩阵行列式的性质：
- 转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式，即$|A^T| = |A|$。
- 矩阵乘积的行列式等于各矩阵行列式的乘积，即$|AB| = |A| \cdot |B|$（当$A$和$B$均为方阵时成立）。
因此，计算$|A^T A|$时：
$|A^T A| = |A^T| \cdot |A| = |A| \cdot |A| = |A|^2.$
已知$|A|=2$，代入得：
$|A^T A| = 2^2 = 4.$