5.设在时间r(单位：min)内，通过某交叉路口的汽车数服从参数与r成正比的泊松分布.已知在1min内没有汽车通过的概率为0.2，求在2min内最多有一辆汽车通过的概率.

考查要点：本题主要考查泊松分布的概率计算，涉及参数与时间成正比的关系，以及如何利用已知条件求解参数，进而计算指定事件的概率。

解题核心思路：

1. 确定泊松分布的参数：题目中参数与时间成正比，设为$\lambda = a t$，其中$a$为比例常数。
2. 利用已知条件求$a$：通过1分钟内无汽车通过的概率$P(X_1=0)=0.2$，建立方程求解$a$。
3. 计算目标概率：在2分钟内最多1辆汽车的概率$P(X_2 \leq 1)$，需分别计算$P(X_2=0)$和$P(X_2=1)$后相加。

破题关键点：

• 泊松分布公式：$P(X=k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}$。
• 参数关系：$\lambda t$随时间线性变化，需正确代入时间$t=1$和$t=2$的参数值。

步骤1：求比例常数$a$

已知在1分钟内无汽车通过的概率为$P(X_1=0)=0.2$，代入泊松分布公式：
$P(X_1=0) = e^{-a \cdot 1} = 0.2 \implies e^{-a} = 0.2$
取自然对数得：
$-a = \ln(0.2) \implies a = -\ln(0.2) = \ln(5)$

步骤2：计算2分钟内的参数$\lambda$

时间$t=2$分钟时，参数为：
$\lambda = a \cdot 2 = 2 \ln(5)$

步骤3：计算$P(X_2=0)$和$P(X_2=1)$

• 无汽车通过的概率：
  $P(X_2=0) = e^{-2 \ln(5)} = \frac{1}{e^{2 \ln(5)}} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$
• 恰好1辆汽车的概率：
  $P(X_2=1) = \frac{(2 \ln(5))^1 e^{-2 \ln(5)}}{1!} = \frac{2 \ln(5)}{25}$

步骤4：求总概率

将两部分概率相加：
$P(X_2 \leq 1) = P(X_2=0) + P(X_2=1) = \frac{1}{25} + \frac{2 \ln(5)}{25} = \frac{1 + 2 \ln(5)}{25}$