题目
设二重积分 int_(0)^1dxint_(0)^x^(2)f(x,y)dy 若交换积分次序，则新的积分表达式为？A. int_(0)^1 int_(x^2)^2x f(x, y)dy dxB. int_(0)^2 dx int_(x^2)^2x f(x, y)dyC. int_(0)^1 dy int_(sqrt(y))^1 f(x, y)dxD. int_(0)^2 int_(y/2)^y f(x, y)dx dy
设二重积分 $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dy$ 若交换积分次序，则新的积分表达式为？
A. $\int_{0}^{1} \int_{x^2}^{2x} f(x, y)dy dx$
B. $\int_{0}^{2} dx \int_{x^2}^{2x} f(x, y)dy$
C. $\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{y}}^{1} f(x, y)dx$
D. $\int_{0}^{2} \int_{y/2}^{y} f(x, y)dx dy$
题目解答
答案
C. $\int_{0}^{1} dy \int_{\sqrt{y}}^{1} f(x, y)dx$
解析
步骤 1：确定积分区域
原始积分是 $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dy$。这描述了 $xy$-平面上的区域，其中 $x$ 从 0 到 1，对于每个 $x$，$y$ 从 0 到 $x^2$。区域由曲线 $y = x^2$，$x$-轴（$y = 0$），以及直线 $x = 1$ 所界定。
步骤 2：用 $y$ 描述区域
为了交换积分次序，我们需要将区域表示为 $y$ 的函数。变量 $y$ 的范围从 0 到 1（因为曲线 $y = x^2$ 的最大值在 $x = 1$ 时为 1）。对于每个 $y$ 从 0 到 1，$x$ 的范围从 $y$ 的平方根（因为 $y = x^2$ 意味着 $x = \sqrt{y}$）到 1。
步骤 3：写出新的二重积分
用新的积分次序表示的区域是 $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{1}f(x,y)dx$。
原始积分是 $\int_{0}^{1}dx\int_{0}^{x^{2}}f(x,y)dy$。这描述了 $xy$-平面上的区域，其中 $x$ 从 0 到 1，对于每个 $x$，$y$ 从 0 到 $x^2$。区域由曲线 $y = x^2$，$x$-轴（$y = 0$），以及直线 $x = 1$ 所界定。
步骤 2：用 $y$ 描述区域
为了交换积分次序，我们需要将区域表示为 $y$ 的函数。变量 $y$ 的范围从 0 到 1（因为曲线 $y = x^2$ 的最大值在 $x = 1$ 时为 1）。对于每个 $y$ 从 0 到 1，$x$ 的范围从 $y$ 的平方根（因为 $y = x^2$ 意味着 $x = \sqrt{y}$）到 1。
步骤 3：写出新的二重积分
用新的积分次序表示的区域是 $\int_{0}^{1}dy\int_{\sqrt{y}}^{1}f(x,y)dx$。