题目

20.(12分)-|||-如图1,在直角梯形ABCD中, ykparallel CD, angle B=(90)^circ =3 =2, =sqrt (3), E在AB上,且 =AE. 将 Delta ADE 沿-|||-DE折起,使得点A到点P的位置,且 =PC, 如图2. P-|||-(1)证明:平面 bot 平面BCDE;-|||-(2)求二面角 C-PB-E 的正弦值.-|||-P-|||-D C-|||-C-|||-D-|||-A E B E B-|||-图1 图2

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查空间几何中的平面垂直关系证明及二面角的计算，涉及折叠问题、线面垂直判定、平面法向量求解等知识点。

解题思路：

  1. 第一问：通过构造中点连线，利用中位线定理及线面垂直判定定理，证明平面PDE与平面BCDE垂直。
    • 关键点：找到PO垂直于平面BCDE的关键直线，通过PB=PC条件推导垂直关系。
  2. 第二问：建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的正弦值。
    • 关键点：正确建立坐标系，确定各点坐标，求解两平面法向量并计算夹角。

第（1）题

步骤1：构造中点连线

  • 取DE的中点O，连接PO。因PB=PE，故PO⊥DE（等腰三角形性质）。
  • 取BC的中点M，连接MO。因BE=AB−AE=3−AE，而AD=AE，结合梯形性质可得MO∥BE。

步骤2：推导垂直关系

  • 由PB=PC且M为BC中点，得PB⊥BC。
  • 连接PM，结合PO⊥DE和PB⊥BC，通过线面垂直判定定理得PO⊥平面BCDE。

步骤3：平面垂直判定

  • 因PO在平面PDE内且PO⊥平面BCDE，故平面PDE⊥平面BCDE。

第（2）题

步骤1：建立坐标系

  • 以O为原点，OE、OC、OP为坐标轴建立空间直角坐标系。
  • 计算各点坐标：E(1,0,0)，C(0,√3,0)，B(3/2,√3/2,0)，P(0,0,√3)。

步骤2：求平面法向量

  • 平面PBC的法向量：解方程组得m=(1,√3,√3)。
  • 平面PBE的法向量：解方程组得n=(√3,−1,1)。

步骤3：计算二面角正弦值

  • 计算两法向量夹角余弦：cosθ=√3/√35。
  • 正弦值为√(1−(3/35))=4√70/35。