题目
设A,B,C是n阶可逆矩阵，则^-1(B))^-1=（ ）A.^-1(B))^-1B.^-1(B))^-1C.^-1(B))^-1D.无法计算
设A,B,C是n阶可逆矩阵，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.无法计算
题目解答
答案
根据逆矩阵的定义，对于方阵A，若存在同型矩阵B，使得
，那么就称矩阵A,B都可逆，且
。
结合题目，矩阵A,B,C都是可逆矩阵，因此他们的逆矩阵即为
，他们都满足下列公式：
。然后结合矩阵
进行计算。
即矩阵为P，即
令矩阵P右乘以矩阵B的逆，得到：
然后令上述结果再次右乘以矩阵C得到：
然后令上述结果再次右乘以矩阵A的逆得到：
因此，针对上述式子，对于矩阵来说，存在一个矩阵使其与P相乘结果为单位矩阵，结合逆矩阵定义，可知两个矩阵互为逆矩阵，即
综上，正确答案为A
解析
步骤 1：定义逆矩阵
根据逆矩阵的定义，对于方阵A，若存在同型矩阵B，使得AB=E，那么就称矩阵A,B都可逆，且${A}^{-1}=B$ ${B}^{-1}=A$。结合题目，矩阵A,B,C都是可逆矩阵，因此他们的逆矩阵即为${A}^{-1}$ ${B}^{-1}$ $C^{-1}$，他们都满足下列公式：${AA}^{-1}={BB}^{-1}={CC}^{-1}=E$。
步骤 2：计算矩阵$AC-B$的逆矩阵
令矩阵$P=AC-B$，然后计算$P$的逆矩阵。首先，令矩阵$P$右乘以矩阵$B$的逆，得到：${PB}^{-1}={AC}^{-1}{BB}^{-1}={AC}^{-1}$。然后令上述结果再次右乘以矩阵$C$得到：${PB}^{-1}C={AC}^{-1}C=A$。然后令上述结果再次右乘以矩阵$A$的逆得到：${P}^{-1}{CA}^{-1}={AA}^{-1}={E}^{2}$。因此，针对上述式子，对于矩阵$P=AC-B$来说，存在一个矩阵${B}^{-1}{CA}^{-1}$使其与$P$相乘结果为单位矩阵，结合逆矩阵定义，可知两个矩阵互为逆矩阵，即${P}^{-1}={({AC}^{-1}B)}^{-1}={B}^{-1}C{A}^{-1}$。
根据逆矩阵的定义，对于方阵A，若存在同型矩阵B，使得AB=E，那么就称矩阵A,B都可逆，且${A}^{-1}=B$ ${B}^{-1}=A$。结合题目，矩阵A,B,C都是可逆矩阵，因此他们的逆矩阵即为${A}^{-1}$ ${B}^{-1}$ $C^{-1}$，他们都满足下列公式：${AA}^{-1}={BB}^{-1}={CC}^{-1}=E$。
步骤 2：计算矩阵$AC-B$的逆矩阵
令矩阵$P=AC-B$，然后计算$P$的逆矩阵。首先，令矩阵$P$右乘以矩阵$B$的逆，得到：${PB}^{-1}={AC}^{-1}{BB}^{-1}={AC}^{-1}$。然后令上述结果再次右乘以矩阵$C$得到：${PB}^{-1}C={AC}^{-1}C=A$。然后令上述结果再次右乘以矩阵$A$的逆得到：${P}^{-1}{CA}^{-1}={AA}^{-1}={E}^{2}$。因此，针对上述式子，对于矩阵$P=AC-B$来说，存在一个矩阵${B}^{-1}{CA}^{-1}$使其与$P$相乘结果为单位矩阵，结合逆矩阵定义，可知两个矩阵互为逆矩阵，即${P}^{-1}={({AC}^{-1}B)}^{-1}={B}^{-1}C{A}^{-1}$。