题目
6. (int )_(0)^a(e)^3xdx=dfrac (1)(3)(e-1), 则a= () 。-|||-A. dfrac (1)(2) B.dfrac (1)(3) c.dfrac (1)(4) D.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算积分
首先，我们需要计算积分 ${\int }_{0}^{a}{e}^{3x}dx$。为了计算这个积分，我们使用积分的基本公式，即 ${\int }{e}^{kx}dx=\dfrac {1}{k}{e}^{kx}+C$，其中 $k$ 是常数，$C$ 是积分常数。在这个问题中，$k=3$，因此我们有 ${\int }{e}^{3x}dx=\dfrac {1}{3}{e}^{3x}+C$。
步骤 2：应用积分的上下限
接下来，我们应用积分的上下限 $0$ 和 $a$。根据积分的基本定理，我们有 ${\int }_{0}^{a}{e}^{3x}dx=\left[\dfrac {1}{3}{e}^{3x}\right]_{0}^{a}=\dfrac {1}{3}{e}^{3a}-\dfrac {1}{3}{e}^{0}=\dfrac {1}{3}{e}^{3a}-\dfrac {1}{3}$。
步骤 3：解方程
根据题目条件，我们有 ${\int }_{0}^{a}{e}^{3x}dx=\dfrac {1}{3}(e-1)$。将步骤 2 中的结果代入，我们得到 $\dfrac {1}{3}{e}^{3a}-\dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{3}(e-1)$。通过简化方程，我们得到 ${e}^{3a}-1=e-1$，从而 ${e}^{3a}=e$。解这个方程，我们得到 $3a=1$，因此 $a=\dfrac {1}{3}$。
首先，我们需要计算积分 ${\int }_{0}^{a}{e}^{3x}dx$。为了计算这个积分，我们使用积分的基本公式，即 ${\int }{e}^{kx}dx=\dfrac {1}{k}{e}^{kx}+C$，其中 $k$ 是常数，$C$ 是积分常数。在这个问题中，$k=3$，因此我们有 ${\int }{e}^{3x}dx=\dfrac {1}{3}{e}^{3x}+C$。
步骤 2：应用积分的上下限
接下来，我们应用积分的上下限 $0$ 和 $a$。根据积分的基本定理，我们有 ${\int }_{0}^{a}{e}^{3x}dx=\left[\dfrac {1}{3}{e}^{3x}\right]_{0}^{a}=\dfrac {1}{3}{e}^{3a}-\dfrac {1}{3}{e}^{0}=\dfrac {1}{3}{e}^{3a}-\dfrac {1}{3}$。
步骤 3：解方程
根据题目条件，我们有 ${\int }_{0}^{a}{e}^{3x}dx=\dfrac {1}{3}(e-1)$。将步骤 2 中的结果代入，我们得到 $\dfrac {1}{3}{e}^{3a}-\dfrac {1}{3}=\dfrac {1}{3}(e-1)$。通过简化方程，我们得到 ${e}^{3a}-1=e-1$，从而 ${e}^{3a}=e$。解这个方程，我们得到 $3a=1$，因此 $a=\dfrac {1}{3}$。